¿Antiderivada no elemental de$\phi(\cos x,\sin x)$ cuando$\phi(x,y)$ es una función real racional?

Question

Con el método de los Residuos, podemos calcular la integral \begin{equation}\int_{0}^{2\pi}\phi(\cos x,\sin x)\, dx \end{equation} donde $\phi(x,y)=\frac{p(x,y)}{q(x,y)}$, ($p,q$ son polinomios de $x,y$)

En todos los ejemplos que he visto, sin embargo, la antiderivada de $\phi$ es una función primaria (aunque es muy complicado) y, como tal, los residuos son un facultativo de la ayuda, y no una "necesidad". Mi pregunta es ¿existe una función de $\phi(x,y)$, de modo que \begin{equation}\int\phi(\cos x,\sin x)\, dx \end{equation} no es elemental pero \begin{equation}\int_{0}^{2\pi}\phi(\cos x,\sin x)\, dx \end{equation} puede ser (preferiblemente fácilmente) calculado utilizando el Teorema de los Residuos?

Una función se dice ser primaria si puede ser escrita en términos de polinómicas, racionales, exponenciales, logarítmicas, funciones trigonométricas y sus inversas. Si es o no una función primaria antiderivada es decidido por el algoritmo de Risch.

Answer 1

La integral indefinida de una función de este tipo puede ser escrita en términos de funciones elementales.

Dado un $\phi$, existe polinomios $P$ $Q$ tal forma que: $$\phi(\cos x,\sin x)=\frac{P(e^{ix})}{Q(e^{ix})}$$

El uso de $u=e^{ix}$, podemos ver que $du/(iu)=dx$, y lo que desea de una forma cerrada para:

$$\int \frac{P(u)}{iuQ(u)}du$$

Pero podemos aplicar fracciones parciales para venir para arriba con una forma cerrada para un integral.

Esto no es necesariamente va a ser bonito de la fórmula depende de las raíces de $Q$. Pero no será una fórmula en términos de las funciones elementales y los números que se algebraicas con respecto a los coeficientes de $P$$Q$.