Espectro de elementos en$C^*$ - subalgebras

Question

Suponga $\mathcal{A}$ $C^*$- álgebra con unidad de $1$ $\mathcal{B}\subset\mathcal{A}$ $C^*$- subalgebra (es decir, cerrado, $*$- subalgebra) tal que $1\in\mathcal{B}$. Se dice que bajo estos supuestos, para cualquier $a\in\mathcal{B}$ el espectro de $\sigma_\mathcal{B}(a)$ $a$ $\mathcal{B}$ coincide con $\sigma_\mathcal{A}(a)$, que es: Si $a-\lambda 1$ tiene una inversa $b\in\mathcal{A}$,$b\in\mathcal{B}$.

Ahora, mis preguntas son las siguientes:

1. ¿Conoce usted a un buen justificante de la declaración anterior? He encontrado una prueba de que es así: Si $b=(a-\lambda)^{-1}$ existe en $\mathcal{A}$, se puede expresar como una convergente de alimentación de la serie, es decir, la norma es el límite de las sumas parciales de cada pertenecientes a $\mathcal{B}$, hene también se $b\in\mathcal{B}$. Aunque este argumento se ve muy bien y soy consciente de Neumann de la serie, no veo por qué se $b$ se puede expresar como una potencia de la serie. ¿?
2. Bajo los supuestos anteriores, es la afirmación más general $\mathcal{B}^\times=\mathcal{A}^\times\cap B$ verdad? (aquí, denotamos por a $\mathcal{A}^\times$ $\mathcal{B}^\times$ el conjunto de invertible elementos en $\mathcal{A}$$\mathcal{B}$, respectivamente)

Answer 1

Lo que hacemos básicamente quieren demostrar que el $a \in B$ es invertible en a $A$ fib es invertible en a $B$. Supongamos que $a$ es selfadjoint; después de todo, si $a^*a$ tiene una inversa en $B$, entonces también lo hace $a$.

Creo que uno tiene que utilizar la Piedra-teorema de Weierstrass en alguna forma. El argumento que usted indica, básicamente, no esta en el álgebra generada por $a$, que es conmutativa y la realidad de la forma $C(Spec(a))$. Estoy un poco preocupada acerca de la no-circularidad de dicha prueba, sin embargo: Que el espectro de un elemento no cambia al pasar a una subalgebra está muy profundamente arraigada en el continuo de la función de cálculo.

Yo probaría de la siguiente manera: Vamos a $X$ $C^*$- álgebra generada por $1,a,a^{-1}$ dentro $A$ $Y$ el álgebra generada por $1,a$ dentro $A$ y, por tanto, dentro de $B$ desde $1, a \in B$. Desde $a$ es auto-adjunto, tanto en $X$ $Y$ son conmutativas y tenemos $Y \subset X$. Buscamos demostrar $X = Y$.

Desde $X$ es conmutativa, el Gelfand transformar los rendimientos de un isomorfismo $X \rightarrow C(Spec(X))$. Deje $Y' \subset C(Spec(X))$ ser la imagen de $Y$ bajo este mapa. $Y'$ es un cerrado $*$-subalgebra de $C(Spec(X))$. Además, si $l,k \in Spec(X)$ son diferentes, debemos tener $l(a) \neq k(a)$ ya que de lo contrario $l, k$ está de acuerdo en $1, a , a^{-1}$ y, a continuación, en todas partes. Pero desde $a \in Y$, la evaluación en $a$-mapa de $Spec(X) \rightarrow \mathbb{C}$ se encuentra en $Y'$. En otras palabras, $Y'$ separa los puntos de $Spec(X)$ y por lo tanto es denso en $C(Spec(X))$ por Stone-Weierstrass. Desde $Y'$ también está cerrado, se deduce $Y' = C(Spec(X))$ y, por tanto, $Y = X$ como se desee.