¿Existencia de homeomorfismo?

Question

¿Existe algún homeomorfismo entre$(X,T^1)$ y$(X,T^2)$ donde$T^1$ y$T^2$ son topologías en X, de modo que$T^1$ es un subconjunto adecuado de$T^2$.

Answer 1

Supongamos $X$ es un conjunto y que tenga un bilaterales secuencia $(\tau_n)_{n\in\mathbb Z}$ de topologías en $X$ tal que $\tau_n\subsetneq\tau_{n+1}$ todos los $n\in\mathbb Z$.

Deje $\mathcal X=X\times\mathbb Z$. Considere la posibilidad de

• la topología $\tau$, lo que hace que $\mathcal X$ la inconexión de la unión de sus subespacios $X\times\{n\}$, $n\in\mathbb Z$, cada uno dotado de la topología $\tau_n$,

• y la topología $\tau'$, lo que hace que $\mathcal X$ la inconexión de la unión de sus subespacios $X\times\{n\}$, $n\in\mathbb Z$, cada uno dotado de la topología $\tau_{n+1}$.

Las dos topologías $\tau$ $\tau'$ son distintos (de hecho, inducen en el subconjunto $X\times\{0\}$ diferentes topologías!) y la elección de los datos iniciales implica que $\tau\subsetneq\tau'$. Pero es evidente que existe una homeomorphism $(\mathcal X,\tau)\to(\mathcal X,\tau')$.

 

Para construir la secuencia de las topologías que empecé con el que puede hacer las siguientes tonto truco. Deje $X=\mathbb Z$, y para cada una de las $n\in\mathbb Z$ deje $\tau_n$ ser la topología que tiene como base el conjunto de $$\beta_n=\{\{k\}:k\leq n\}\cup\{\mathbb Z\}.$$