¿Es cierto que si tengo alguna función$f(x,y)$ para la cual existen derivadas parciales pero no es continuo que esta función no pueda ser diferenciable (el diferencial total no existe)? Pero si mi función es continua y las derivadas parciales existen (y también son continuas), ¿entonces debe ser diferenciable?
Estoy confundido, desde hace mucho tiempo. He encontrado algunos ejemplos pero solo quiero ser claro.
Aquí es un boceto de cómo probar continua primeros parciales implica la diferenciabilidad.
Una función de $f$ es diferenciable en a $x$ fib el cambio de $f(x+h)-f(x)$ puede ser aproximada por una lineal mapa con un resto término que es $o(h)$.
Si una función tiene primeras derivadas parciales definidos en $x$ a continuación, se ha arbitraria derivadas direccionales en $x$
Una generalización del valor medio teorema muestra que en una pequeña región, se puede aproximar el cambio por $f(x+h) - f(x)$ $x$ por el valor de la derivada direccional de $f$ en la dirección $h$ sobre el segmento de línea de unirse a $x$$x+h$.
Si usted construye un mapa de $L$, lo que lleva a un vector y devuelve la derivada direccional de $f$ en esa dirección, usted encontrará que es lineal. Si los parciales son continuas, entonces usted puede probar que el resto $f(x+h) - f(x) - Lh$ $o(h)$ $L$ es el derivado de la $f$$x$.
He usado esto como una referencia: https://www.math.ucdavis.edu/~hunter/libro/el canal 13.pdf
En dos dimensiones, la diferenciabilidad implica siempre la continuidad. Debido a esto, la idea de una multi de la función de variable a tener existente parciales sin la continuidad que parece imposible. Sin embargo, hay una pequeña solución. Si tenemos en cuenta la definición de una derivada parcial (asumiendo 3-D por ahora) se parece a esto: $$\frac{\delta f(x, y)}{\delta x}=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}$$ Esto puede evaluar sin problema sin la función de ser "continua con respecto a $y$" o, más precisamente, sin $f(k, y)$ continua para algunos $k$. Sin embargo, la función debe ser continua "con respecto a $x$" o, más precisamente, $f(x, k)$ debe ser continua. Un ejemplo de una función de este tipo se pueden encontrar a continuación: $$f(x, y) = \begin{cases} x+1, &y\geq 0 \\ x^2, &y<0 \end{casos} $$ Tomemos, por ejemplo, el punto de $(0, 0)$. La función se evalúa a $1$ en este punto, sin embargo no es continuo ya que $$\lim_{y\to 0}{f(0,y)}=0$$ Sin embargo, si sustituimos esta ecuación en la definición de la derivada, obtenemos $$\frac{\delta f(x, y)}{\delta x}= \begin{cases} 1, & y\geq 0 \\ 2x, & y<0 \end{casos}$$ En el final, estás en lo cierto al afirmar que toda esta función no puede tener todas las derivadas parciales definidos en todas partes, ya que esto requeriría de continuidad en todas partes.
Para tu segunda pregunta, esto es cierto. El la diferenciabilidad de una multi de la función de variable está implícita en la existencia y la continuidad de todas las derivadas parciales. Debido a esto, su función teniendo continua existentes derivadas parciales en todas partes necesariamente significa que es diferenciable.
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