Intersección de conjuntos de medida positiva.

Question

Si$E$ y$F$ son conjuntos de medidas de Lebesgue positivas en$\mathbb{R}$, compruebe que algunos resultados de$F$ intersectan$E$ en un conjunto de medidas positivas.

Dado que cada uno se aproxima desde abajo por conjuntos compactos, puedo asumir que$E$ y$F$ son compactos. He comprobado el caso en el que$F$ es un intervalo o una unión de intervalos. Supongo que debería hacerse con coberturas de intervalos de$E$ y$F$, pero no puedo hacer que funcione.

Answer 1

Considere la integral$$\int m(E\cap (F+y))dy=\iint\mathbb{1}_E(x)\cdot \mathbb{1}_F(x+y)dxdy$ $ Por la sustitución$x\mapsto x$,$y\mapsto z-x$ se convierte en$$\iint\mathbb{1}_E(x)\cdot \mathbb{1}_F(z)dxdz=m(E)\cdot m(F)>0$ $ Esto implica que existe al menos un$y$ tal que$m(E\cap(F+y))>0$. De hecho, sabemos que existe un conjunto de medidas positivas de tales puntos.