Demuestre que un polinomio es irreducible en$\mathbb{Q}$

Question

Demostrar que el polinomio $f\left( x \right) = x\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)\left( {x - 4} \right) - a$ es irreducible en a $\mathbb{Q}$ donde $a \in - 2 + 5\mathbb{Z}$.

Me han demostrado que $f$ no tiene ceros en $\mathbb{Q}$. También sabemos que desde $f$ es primitivo, por el lema de Gauss, es irreducible en a $\mathbb{Q}$ fib es irreducible en a $\mathbb{Z}$.

Pensé que podríamos usar $\pi :\mathbb{Z}\left[ X \right] \to \left( {\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}} \right)\left[ X \right]$, demuestran que es un homomorphism y que irreductibilidad de $\pi \left( f \right)$ implica la irreductibilidad de $f$.

Pero, suponiendo que todas estas afirmaciones son verdaderas, que yo no he molestado sin embargo, para comprobar, ¿cómo podemos ver que $\left( {\pi \left( f \right)} \right)\left( x \right) = {x^5} + 4x + 2$ es irreducible en a $\left( {\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}} \right)\left[ X \right]$?

Answer 1

En $\mathbb{F}_p[x]$,$\prod_{i=0}^{p-1} \left ( x-i \right ) = x^p - x$.

Ahora se sabe que si $p \nmid a$, $x^p - x + a$ es irreducible sobre $\mathbb{F}_p[x]$.

Prueba: Supongamos $\alpha \not\in \mathbb{F}_p$ ser una raíz de $x^p - x + a$$\mathbb{F}_p$. A continuación, todos los elementos $\alpha, \alpha + 1 ,\ldots, \alpha + p-1$ son raíces de $x^p - x + a$$\mathbb{F}_p$.Por lo $\mathbb{F}_p (\alpha)$ es la división de campo de la $x^p -x + a$$\mathbb{F}_p$.Ahora es fácil ver que el grado del polinomio mínimo de a $\alpha$ $\mathbb{F}_p$ divide $p$.(*) Desde $p$ es un número primo, el grado del polinomio mínimo de a$\alpha$$\mathbb{F}_p$$p$. (No puede ser $1$ desde $\alpha \not\in \mathbb{F}_p$.) Esto prueba que el polinomio mínimo es en realidad $x^p - x + a$. Por lo que debe ser irreductible, y hemos terminado.

Primaria, prueba de ello para el caso de $p=5$, se puede encontrar en http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?p=2450995#p2450995.

Edit: (*)

El grado del polinomio mínimo $g_0(x)$ $\alpha$ $\mathbb{F}_p[x] $ es igual a $[\mathbb{F_p}(\alpha) : \mathbb{F_p}] = n$ (let). Desde $\mathbb{F_p}(\alpha) = \mathbb{F_p}(\alpha + t)$, mínimo polinomio $g_k(x)$ $\alpha + t$ también tiene un grado $n$. Tenga en cuenta que $g_k(x) | x^p - x + a$.Así que las raíces de $g_k(x) \in \left \{ \alpha, \ldots, \alpha + p-1 \right \} $. También tenga en cuenta que a partir de la singularidad de un mínimo de polinomio $g_r(x)$ $g_s(x)$ no tiene raíz común para $r \ne s$. Así que las raíces de $g_k(x)$ particiones $\left \{ \alpha, \ldots, \alpha + p-1 \right \} $ $n$ elementos en cada clase. Por lo $n | p$.

Answer 2

Una alternativa, es posible, pero realmente terrible, enfoque, es demostrar que no existen polinomios de la forma $q(x)=x^2-Ax-B$ que dividen $p(x)=x(x^2-1)(x^2-4)-a$. Si queremos calcular explícitamente $p(x)\pmod{q(x)}$, obtenemos: $$ (B^2+(3A^2-5)B+(A^2-1)(A^2-4))\,x+AB(2B+A^2-5)-a, $$ y cuatro veces el coeficiente de $x$ es: $$ (2B+3A^2-5)^2-(5A^4-10A^2+9).$$ Desde la última cantidad debe ser igual a cero, es necesario que $(5A^4-10A^2+9)$ es un cuadrado, decir: $$(\clubsuit)\qquad 5(A^2-1)^2 + 4 = Q^2.$$ El uso de la teoría de la Pell de ecuaciones se puede escribir toda la familia de entero de soluciones a $$ 5X^2-Y^2 = -4 $$ y buscar las soluciones $(X,Y)$ que $X+1$ es un cuadrado, con el fin de demostrar que el único entero soluciones a $(\clubsuit)$ se producen por $A=0,\pm 1,\pm 2,\pm 3$. No intente hacer esto en casa.