Deje $X$ ser la curva de $xy-z^2 \subset \mathbb{P}^2$, y deje $f$ ser la función racional $x/y$ (Edit: estoy tratando de simplificar esto tanto como sea posible, pero, por supuesto, $x$ sí no es una función racional; mi pregunta es sólo sobre el divisor de ceros, pero la misma respuesta me dirá cómo obtener el divisor de los polos).
Yo estoy bien con el intuitivo (y de la mano-ondulado) el método para calcular el divisor de ceros (de $x$) diciendo algo como, "la línea de $x=0$ intersecta $X$ en un solo punto con multiplicidad 2, y así el coeficiente del punto definido por su intersección (una irreductible codimension 1 subvariedad) es de 2."
Estoy teniendo problemas para probar esto en completa rigor el uso de las definiciones previstas. En particular, si tengo una irreductible codimension 1 subvariedad $C$ en mente, quiero escoger un afín conjunto abierto $U \subset X$ de intersección $C$ y la mirada en el local de la ecuación de $\pi$$C$$U$. Aquí el ideal de la $C$ $U$ por lo tanto $(\pi)$, y necesariamente para cualquier $f \in k[U]$ habría un máximo de $m$ que $f \in (\pi^m)$. La valoración de $f$ (y el coeficiente de $C$ en el divisor) está definida para ser $m$.
Así que estoy tratando de este con $C$ definido simplemente por $x=0$ (como una subvariedad/punto de $X$). La obvia afín gráfico es $y=1$, y, a continuación,$k[U] = k[x,z]/(x-z^2)$. Así que ahora $x \in k[U]$, y es su propio local de la ecuación. Sin embargo, parece que $x \in (x)$, pero $x \not \in (x^2) = (z^4)$, por lo que el coeficiente de $C$ sería de 1.
Obviamente, esto no encaja con mi comprensión intuitiva de cómo calcular el divisor de una función racional. Creo que el problema puede ser mi falta de comprensión de los locales de ecuaciones, pero todavía no he sido capaz de localizar el problema. ¿Qué estoy haciendo mal?
