$\int_a^b |f(x)||g(x)| dx \leq \left(\int_a^b |f(x)|^p dx\right)^{\frac1p}\left(\int_a^b |g(x)|^q dx\right)^{\frac{1}{q}}$

Question

Deje $p\gt 1,q\gt 1$ ser el doble de los índices, $\frac1p + \frac1q = 1$ y deje $X$ ser el espacio de todas las funciones continuas en $[a,b]$ con dos números reales $a\lt b$. $f(x)$ y $g(x)$ son funciones continuas en $[a,b]$

Quiero demostrar que:

$$\int_a^b |f(x)||g(x)| dx \leq \left(\int_a^b |f(x)|^p dx\right)^{\frac1p}\left(\int_a^b |g(x)|^q dx\right)^{\frac{1}{q}}$$

Me han sugerido para uso de los jóvenes de la desigualdad, pero no puedo encontrar los relevantes cosa a utilizar. Parece que en la wiki a ser muy relevante el uso de 'Jóvenes de la desigualdad de las circunvoluciones', pero nunca he tratado con cualquier $L^p$ espacios, debo aprender de estos, o no es esto lo que se estaban refiriendo?

Answer 1

¿Te acuerdas de cómo podemos probar de Cauchy-Schwarz a través de la interpolación?

Desde $|xy|\leq\frac{x^2+y^2}{2}$ tenemos: $$ \| f\cdot g\|_1 \leq \frac{\|f\|_2^2}{2}+\frac{\|g\|_2^2}{2} \tag{1} $$ pero el LHS es el mismo si se sustituye $f$$\lambda f$$g$$\frac{1}{\lambda}g$, así: $$ \| f\cdot g\|_1 \leq \frac{\lambda^2\|f\|_2^2}{2}+\frac{\|g\|_2^2}{2\lambda^2} \tag{2} $$ y por la elección de $\lambda$ de tal manera que los dos términos en el lado derecho de la $(2)$ son iguales, es decir,$\lambda=\sqrt{\frac{\|g\|_2}{\|f\|_2}}$, obtenemos: $$ \| f\cdot g\|_1 \leq \|f\|_2 \cdot \|g\|_2 \tag{3}$$ ese es el habitual de Cauchy-Schwarz desigualdad. Si empezamos con los Jóvenes de la desigualdad: $$ |xy|\leq \frac{|x|^p}{p}+\frac{|y|^q}{q}\tag{4} $$ y sigue exactamente la misma interpolación pasos, nos encontramos con: $$ \| f\cdot g\|_1 \leq \|f\|_p\cdot \|g\|_q \tag{5} $$ que se la quería del Titular de la desigualdad.