Fracciones famosas: ¿Pueden aproximarse algunos números "especiales" mediante cocientes simples como $3.14\ldots$ como $22/7$ ?

Question

La relación $22/7$ se remonta a la antigüedad como una aproximación de $3.14\ldots$ . Me pregunto si hay algún otro número "famoso" con una situación similar. Es decir, algo como $e$ ou $\phi$ (la proporción áurea), que suelen representarse como decimales, quizá se hayan aproximado a veces mediante una fracción útil a lo largo de la historia.

Answer 1

Me interesé por los flexágonos cuando era niño y necesitaba dibujar tiras de triángulos equiláteros. El hecho de que $$\frac {\sqrt 3}2 \approx \frac {13}{15}$$ resultó muy útil. Es mejor que una parte entre mil.

El hecho de que $2^{10}=1024 \approx 1000=10^3$ que utilizamos para contar objetos informáticos puede expresarse como $$\log_2(10) \approx \frac {10}3$$ pero no usamos mucho la fracción.

Answer 2

Describiré una forma de derivar aproximaciones racionales de números irracionales y luego la utilizaré para recuperar algunos ejemplos bien conocidos.

Dado un número como $\pi$ dejamos de lado la parte entera ( $a_0 = 3$ ), y tratamos de aproximar la parte fraccionaria ( $0.14159\!\ldots$ ) por alguna fracción egipcia $\frac{1}{a_1}$ o también su recíproco, $7.06251\!\ldots$ por un número entero $a_1$ . El redondeo a la baja da la conocida aproximación $\pi \approx 3 + \frac{1}{7} = \frac{22}{7}$ . La iteración de este proceso da lugar a una serie de aproximaciones, $$3, 3 + \frac{1}{7}, 3 + \frac{1}{7 + \frac{1}{15}}, 3 + \frac{1}{7 + \frac{1}{15 + \frac{1}{1}}}, 3 + \frac{1}{7 + \frac{1}{15 + \frac{1}{1 + \frac{1}{292}}}}, \ldots .$$ Llamamos límite formal de estas fracciones al fracción continua para $\pi$ y, para facilitar la lectura, a veces simplemente se escribe esta cantidad como la secuencia $$[3; 7, 15, 1, 292, \ldots] .$$ Simplificando las fracciones anteriores se obtiene convergentes de $\pi$ una secuencia de aproximaciones mejoradas: $$3, \frac{22}{7}, \frac{333}{106}, \frac{355}{113}, \frac{103993}{33102} \ldots .$$ Evidentemente pasando de un convergente justo antes de un número grande (por ejemplo, $292$ en la expansión anterior) a la siguiente resulta en un ajuste relativamente pequeño, por lo que, a grandes rasgos, los convergentes dados evaluando una fracción justo antes de la correspondiente a un número grande dan una aproximación relativamente buena para el tamaño del denominador. De hecho, el convergente dado al detenerse justo antes de $292$ da la famosa aproximación $$\pi \approx \frac{355}{113}$$ descubierto por Yu Chongzhi en el siglo V d.C. y conocida a veces como la Milü (密率) ; tiene una precisión aproximada de una parte en $10^7$ .

Algunos ejemplos más:

• Las fracciones continuas de algunos números conocidos presentan patrones evidentes. Por ejemplo, se deduce del hecho de que la Proporción Áurea $\phi$ satisface $\phi^2 = \phi + 1$ (y es mayor que $1$ ) que su fracción continua es $[1; 1, 1, 1, \ldots]$ . Sus convergentes sucesivos son los cocientes sucesivos $F_{n + 1} / F_{n}$ de los números de Fibonacci: $$1, 2, \frac{3}{2}, \frac{5}{3}, \frac{8}{5}, \frac{13}{8}, \ldots .$$

• Los convergentes de la constante de desintegración $\log 2$ son $$0, 1, \frac{2}{3}, \frac{7}{10}, \ldots ,$$ y la aparición de $\frac{7}{10}$ puede utilizarse para derivar el Regla del 70 .

• Como ha mencionado lulu en los comentarios, las aproximaciones de $\log_2 3$ son importantes en la teoría musical: A veces se quiere trabajar con dos tonos cuya relación de frecuencias es cercana a $3 : 2$ . En una escala igualmente templada de $n$ notas a una octava, esto significa aproximar $\log_2 3$ con algún número racional $\frac{m}{n}$ . Los convergentes de $\log_2 3$ son $$1, 2, \frac{3}{2}, \frac{8}{5}, \frac{19}{12}, \frac{65}{41}, \ldots ,$$ y la presencia de la relación $\frac{19}{12}$ corresponde al hecho de que un intervalo de quinta perfecta en el conocido cromatismo ( $12$ -es una buena aproximación a una escala de $3 : 2$ relación de frecuencias.

• La fracción continua para $\sqrt{2}$ es $[1; 2, 2, 2, \ldots]$ y sus convergentes son $$1, \frac{3}{2}, \frac{7}{5}, \frac{17}{12}, \ldots ,$$ y se puede demostrar que el numerador y el denominador de cada segundo convergente ( $\frac{3}{2}, \frac{17}{12}, \ldots$ ) son soluciones a la clásica Ecuación Pell $$x^2 - 2 y^2 = 1 ,$$ y las otras son soluciones a la ecuación de Pell $x^2 - 2 y^2 = -1$ . Observaciones similares son válidas para otras raíces cuadradas de números enteros.

• Podemos utilizar esta técnica para producir aproximaciones de cualquier irracional que queramos. Por ejemplo, la fracción continua de $e$ resulta ser $[2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, \ldots]$ y truncando la fracción continua justo antes del $6$ da la aproximación $$e \approx \frac{193}{71} ,$$ que tiene una precisión aproximada de una parte en $10^5$ .

Answer 3

El Teorema de Dirichlet sobre la aproximación diofantina dice que cada real irracional $\alpha$ tiene infinitamente muchos aproximaciones racionales $p/q$ tal que $$\left|\alpha-{p\over q}\right|<{1\over q^2}$$ Todas las aproximaciones de fracciones continuas (ver respuesta de Travis) satisfacen esta desigualdad.