¿Se puede simplificar $\arctan(a\tan(x))$ ?

Question

Sabemos que $\arctan(\tan(x))=x$ cuando $x$ se encuentra entre $-\pi/2$ y $+\pi/2$ pero ¿conoces una forma de transformar la expresión $\arctan(a\tan(x))$ , donde $a$ es un número real entre $0$ y $1$ ?

Pensé que $a$ podría transformarse con funciones trigonométricas, como $a=\sin(\alpha)\cos(x)$ pero $\arctan(\sin(\alpha)\sin(x))$ no me recuerda nada.

¿Quizás no hay más transformación posible?

Answer 1

Bueno, puedes convertir el arctan en otras funciones de trigonometría inversa, como el arcsin:

$$ \arctan(a \tan(x)) = \arcsin\left(\frac{a \sin(x)}{\sqrt{\cos(x)^2 + a^2 \sin(x)^2}}\right) $$