$z=f(x,y).$
$f$ es diferenciable (actualizado).
Definir superior de contorno conjunto $S=\{(x,y)\in\mathbb R^2|f(x,y)\geq c\}$ donde $c$ es una constante.
Deje $C=\{U_\alpha:\alpha\in A\}$ ser una familia de índices de medida no nula conjuntos de $U_\alpha$, e $C$ cubre $S$:
$$S\subseteq\bigcup_{\alpha\in A} U_\alpha.$$
Reclamo: existe una cubierta de $C$ tal que para cualquier $\alpha$, $U_\alpha\cap S$ es un conjunto convexo o $U_\alpha\setminus S$ es un conjunto convexo.
Cómo probar esta afirmación?
Mi dibujo:
1) Desde $f$ es casi en todas partes diferenciables, el límite conjunto de $bd(S)$ se compone de curvas que están en casi todas partes lisas.
2) podemos encontrar una cubierta $C$ para $bd(S)$ tales que cada una de las $U_{\alpha}\cap bd(S)$ es la gráfica de una función derivable en todas partes.
3) a Continuación, podemos encontrar un refinamiento de la cubierta $C'=\{U_{\alpha'}:\alpha'\in A'\}$ para cada conjunto $U_{\alpha}\cap bd(S)$, de tal manera que cada una de las $U_{\alpha'}\cap bd(S)$ es una función convexa o cóncava de la función.
Es este sonido? Estoy seguro de que esto puede ser demostrado mucho más elegante sin la participación de las funciones, sin embargo.
