Descripción de las superficies de Riemann

Question

Acabamos de aprender sobre las superficies de Riemann en mi clase de análisis complejo y, para comprender mejor, he estado tratando de encontrar problemas similares. Me encontré con esto:

Describir las superficies de Riemann de las funciones $f(z) = \sqrt{z(z^2 + 1)}$ y $g(z) = \sqrt{\frac{z^2 + 1}{z}}$ .

He intentado enfocarlo de la misma manera que lo hicimos en clase, encontrando puntos de bifurcación e intentando determinar el corte de la rama, pero me cuesta encontrar los cortes de la rama y explicar cómo es la superficie de Riemann.

Answer 1

El procedimiento general es: si $f$ viene dada por $p(f,z)=0$ , donde $p$ es un polinomio de grado $n$ en $f$ y una función racional en $z$ , primero encuentra $z$ donde la ecuación para $f$ tiene menos de $n$ raíces, o cuando algunos de los coeficientes son infinitos. Esos son los puntos potenciales de ramificación. En tu caso, $f^2-z(z^2+1)=0$ los puntos malos son $z=0,\pm i,\infty$ y $g^2-(z^2+1)/z=0$ , los mismos puntos malos (de hecho, $f=zg$ por lo que las superficies de Riemann son las mismas).

Entonces hay que averiguar qué ocurre, si se recorre un pequeño círculo alrededor de un punto de ramificación potencial; si el $n$ valores de $f$ se permutan, tienes un punto de ramificación verdadero, y necesitamos saber la permutación. Véase, por ejemplo aquí cómo hacerlo rápidamente utilizando la serie Puisseaux. En su caso, $z(z^2+1)$ tiene un cero de primer orden en $z=0,\pm i$ , un polo de orden 3dr en $z=\infty$ por lo que los dos valores de $f$ se permutan. Así que tenemos ramificación en todo $4$ puntos. (lo mismo para $g$ )

El último paso puede ser más difícil. Tenemos que elegir los cortes de rama (curvas no intersecantes que conectan los puntos de rama) de tal manera que no haya ninguna permutación no trivial de los valores de $f$ (monodromía) si se mueve a lo largo de una curva cerrada evitando los cortes de rama. Una forma segura es conectar $P_1$ a $P_2$ , $P_2$ a $P_3$ , ... , $P_{k-1}$ a $P_k$ (donde $P_i$ son los puntos de ramificación), ya que entonces la esfera menos los cortes es 1-conectada, homeomorfa a un disco. Entonces se tiene $n$ discos volando sobre este disco, y tienes que unirlos usando las permutaciones que encontraste antes.

En tu caso es más fácil conectar $i$ a $-i$ y $0$ a $\infty$ , obtienes un cilindro después del corte, por lo que estás pegando 2 cilindros y obtienes un toroide.

Para encontrar el género $g$ de la superficie, se puede utilizar la fórmula de Riemann-Hurwitz: $2-2g=2n-w$ , donde $w$ es el índice de ramificación (en nuestro caso es 1 para cada punto de ramificación, es decir $w=4$ , $2-2g=2\times2-4=0$ , $g=1$ es decir, un toroide).