Ejemplo mínimo de la paradoja de Simpson

Question

Digamos que una probabilidad finita de espacio $(\Omega,\mathscr P(\Omega),P)$ ha Simpson de la propiedad si usted puede encontrar los eventos de $A,B,C\in\mathscr P(\Omega)$ tales que

• $P(C) \in (0,1)$.
• $A$ e $B$ están correlacionados positivamente: $P(A\cap B) > P(A)P(B)$.
• $A$ e $B$ están negativamente correlacionadas de forma condicional a ambos $C$ e $\overline C$: $$P(A\cap B\mid C) < P(A\mid C) P(B\mid C) \text{ and } P(A\cap B\mid\overline C) < P(A\mid\overline C) P(B\mid\overline C).$$

Una forma de estado de la paradoja de Simpson es que hay probabilidad de espacios con los Simpson de la propiedad. El gato-vs-humanos ejemplo dado en este bonito video, por ejemplo, se reduce a esto:

(Los cuatro pequeños puntos cada uno tiene una probabilidad de $1/10$, y los dos grandes pesan $3/10$ cada uno).

Mi (muy ingenuo y probablemente no es muy interesante) la pregunta es saber si es posible encontrar un ejemplo pequeño (con menos puntos) y, si es así, para encontrar un modo demostrable mínimo ejemplo.

Answer 1

$\def\c{^\mathrm{c}}\def\peq{\mathrel{\phantom{=}}{}}\def\Ω{{\mit Ω}}$En primer lugar, defina$$ p_0 = P(a\c \cap B\c \cap C\c),\ p_1 = P(a\c \cap B\c \cap C),\ p_2 = P(a\c \cap B \cap C\c),\ p_3 = P(a\c \cap B \cap C),\\ p_4 = P(a \cap B\c \cap C\c),\ p_5 = P(a \cap B\c \cap C),\ p_6 = P(a \cap B \cap C\c), p_7 = P(a \cap B \cap C), $$ a continuación, $\sum\limits_{k = 0}^7 p_k = 1$. Desde $P(C) = p_1 + p_3 + p_5 + p_7$, entonces la condición 1 es equivalente a$$ 0 < p_1 + p_3 + p_5 + p_7 < 1. \etiqueta{1} $$ De forma análoga, la condición 2 es equivalente a$$ p_6 + p_7 > (p_4 + p_5 + p_6 + p_7) (p_2 + p_3 + p_6 + p_7), \etiqueta{2} $$ y la condición 3 es equivalente a$$ \qquad \begin{cases} p_7 (p_1 + p_3 + p_5 + p_7) < (p_5 + p_7) (p_3 + p_7) & \qquad (3)\\ p_6 (p_0 + p_2 + p_4 + p_6) < (p_4 + p_6) (p_2 + p_5) & \qquad (4) \end{casos} $$

Tenga en cuenta que $p_2 + p_3 + p_4 + p_5 = 1 - (p_0 + p_1 + p_6 + p_7)$, por lo tanto\begin{align*} &\peq (p_4 + p_5 + p_6 + p_7) (p_2 + p_3 + p_6 + p_7) - (p_6 + p_7)\\ &= (p_6 + p_7)^2 + (p_2 + p_3 + p_4 + p_5) (p_6+ p_7) + (p_2 + p_3) (p_4 + p_5) - (p_6 + p_7)\\ &= (p_6 + p_7)^2 - (p_0 + p_1 + p_6 + p_7) (p_6 + p_7) + (p_2 + p_3) (p_4 + p_5)\\ &= (p_2 + p_3) (p_4 + p_5) - (p_0 + p_1) (p_6 + p_7), \end{align*} lo que implica que (2) es equivalente a$$ (p_2 + p_3) (p_4 + p_5) < (p_0 + p_1) (p_6 + p_7). \etiqueta{$2'$} $$ Debido a $(p_5 + p_7) (p_3 + p_7) - p_7 (p_1 + p_3 + p_5 + p_7) = p_3 p_5 - p_1 p_7$, a continuación, (3) es equivalente a$$ p_1 p_7 < p_3 p_5. \etiqueta{$3'$} $$ De forma análoga, (4) es equivalente a$$ p_0 p_6 < p_2 p_4. \etiqueta{$4'$} $$

Ahora, (3') implica que $p_3, p_5 > 0$, y (4') implica que $p_2, p_4 > 0$. Puesto que (2') implica que $p_0 + p_1 > 0$ e $p_6 + p_7 > 0$, entonces al menos uno de $p_0$ e $p_1$ es positivo, y al menos uno de $p_6$ e $p_7$ es positivo. Por lo tanto, al menos seis de $p_0, \cdots, p_7$ es positivo. Tenga en cuenta que para cada uno positivo $p_k$, el evento asociado con $p_k$ contiene al menos un elemento, lo $|\Ω| \geqslant 6$, es decir, el espacio muestral contiene al menos seis elementos.