¿Por qué el movimiento browniano es tan grande en la teoría de las ecuaciones diferenciales estocásticas?

Question

Estoy leyendo algo de material introductorio sobre ecuaciones diferenciales estocásticas en el momento. En casi todos los casos, las ecuaciones que se presentan son de la forma

$$ dX_t = \mu(t,X_t) dt + \sigma(t, X_t) dB_t, \quad (\dagger) $$

donde $B_t$ generalmente es un estándar de movimiento Browniano. Soy consciente, de que es posible generalizar el anterior equaton sustituyendo $B_t$ con algunos semimartingale $H_t$; sin embargo, parece que estos casos son casi nunca estudió en la práctica. En casi todos los libros sobre aplicaciones de ecuaciones diferenciales estocásticas, en el caso de que $H_t = B_t$ domina completamente.

¿Por qué es este el caso? Son ecuaciones diferenciales estocásticas basado en el movimiento Browniano realmente que el general? ¿Cómo es posible, que estos tipos de ecuaciones de satisfacer la necesidad de muchos profesionales? Hay Teoremas que indica, que es posible modelo de casi todos los procesos estocásticos de interés con ecuaciones como $(\dagger)$? No veo cómo almot exclusivamente a estudiar el caso especial de Browniano movimiento basado en ecuaciones diferenciales estocásticas no es una gran pérdida de generalidad en la teoría.

Answer 1

En realidad es una enorme pérdida de generalidad. Aquí hay dos razones por qué la gente el uso de modelos basados en el movimiento Browniano:

• el teorema del límite central. La CT es decir que la distribución Gausiana aparecen de forma natural en "muchas" situaciones como (limitación) de distribución. Por lo tanto, si las personas quieren el modelo de algunos fenómenos y que no tienen mucha información sobre la distribución, les gusta usar la distribución Gausiana. Ahora, una vez que usted ha decidido instalarse distribución Gausiana, el movimiento Browniano es una elección natural (aunque, obviamente, no es el único).
• los cálculos. Ecuaciones diferenciales estocásticas impulsado por el movimiento Browniano tiene muchas buenas propiedades. Son relativamente fáciles de calcular numéricamente y hay un buen número de convergencia de los resultados (por ejemplo, Euler-Maruyama aproximación). En contraste, si se usa algún general semimartingale para cocinar una (muy bonito, teórico del modelo, usted será más probable que se ejecutará en problemas cuando intenta realizar cálculos numéricos - que es claramente una situación de gran desventaja en las aplicaciones.

Durante la última década ha habido un creciente interés en el uso de Lévy los procesos como el manejo de los procesos en ecuaciones diferenciales estocásticas. El punto principal es que la SDEs impulsado por Lévy procesos permiten saltos mientras que las soluciones a SDEs impulsado por el movimiento Browniano son siempre continuas. Lévy-impulsado por la SDEs, por ejemplo, se utiliza en las matemáticas financieras para el modelo de las poblaciones, y también hay un número de aplicaciones en la física y la biología. No soy consciente de aplicaciones donde "general" semimartingales se utilizan.