Convergencia en el sentido de estrella débil de las medidas y $ \int_{\Omega} \sqrt{1+u_k^2} \to \int_{\Omega} \sqrt {1+u_k^2}$ da la convergencia en $L^1$ .

Question

Tengo una pregunta, que es el ejercicio 1.20 del siguiente libro:

Funciones de variación limitada y problemas de discontinuidad libre.

Supongamos $\Omega$ es un subconjunto acotado de $\mathbb{R}^n$ y $u_k, u \in L^1(\Omega)$ y $u_k$ convergen a $u$ en el sentido de estrella débil de las medidas como sigue: $$ \int_{\Omega} u_k \phi \to \int_{\Omega} u \phi \qquad \forall \phi \in C_c^{\infty}(\Omega).$$ Supongamos también que $$ \int_{\Omega} \sqrt{1+u_k^2} \to \int_{\Omega} \sqrt{1+u^2}.$$ Entonces queremos demostrar que tenemos una fuerte convergencia en $L^1(\Omega)$ también.

Hay una pista que dice que primero hay que demostrar que $$\sqrt{1+u_k^2}+\sqrt{1+u^2}-2\sqrt{1+\left(\frac{u+u_k}{2}\right)^2} \to 0 $$ en $L^1(\Omega)$ . Esto está bien, pero no sé cómo utilizar este último para concluir el resultado.

Answer 1

Dejemos que $g(x)=\sqrt{1+x^2}$ y $g_2(x,y)=g(x)+g(y)-2g((x+y)/2).$

(Aquí se resume el siguiente argumento. La función $g$ es convexo, y fuertemente convexo en conjuntos compactos, por lo que si $g_2(x,y)\to 0$ y $x$ está acotado, entonces $|x-y|\to 0.$ Usted sabe que $g_2(u,u_k)$ tiende a cero en $L^1,$ por lo que tiende a cero en la medida, por lo que $u_k\to u$ en medida. Esto combinado con $\int g(u_k)\to \int g(u)$ da $u_k\to u$ en $L^1.$ )

Arreglar $\epsilon>0.$ Escoge $N$ tal que $|u|\leq N$ excepto en un conjunto $E_1$ de medida $\leq\epsilon/2.$ Utilice $$g_2(x,y)=\int_{\min(x,y)}^{\max(x,y)} g''(t)\min(|t-x|,|t-y|)dt\geq \int_{\min(x,(x+y)/2)}^{\max(x,(x+y)/2)} g''(t)|t-x|dt$$

para conseguir un $\delta=\delta(\epsilon,N)$ tal que $|x|\leq N$ y $g_2(x,y)\leq\delta$ implica $|x-y|\leq \epsilon/2.$ Escoge $k$ lo suficientemente grande como para que $g_2(u,u_k)\leq\delta$ excepto en un conjunto $E_2$ (dependiendo de $k$ ) de la medida $\leq\epsilon/2.$ Entonces $|u-u_k|\leq\epsilon$ excepto en $E:=E_1\cup E_2,$ que tiene medida $\leq\epsilon.$

El $L^1$ norma de $u$ en $E$ (o cualquier conjunto de medidas $\epsilon$ ) tiende a cero cuando $\epsilon\to 0.$ El $L^1$ norma de $u_k$ en $E$ también tiende a cero porque

$$\int_E|u_k|\leq\int_E g(u_k)=\int_{\Omega} g(u_k)-\int_{\Omega\setminus E}g(u_k)\approx \int_{\Omega} g(u)-\int_{\Omega\setminus E}g(u)\approx 0.$$

Así que $\|u_k-u\|_1\to 0.$