Cómo probar que $\lfloor a\rfloor+\lfloor b\rfloor\leq \lfloor a+b\rfloor$

Question

Tenemos la función floor $F(x)=[x]$ tal que $F(2.5)=[2.5]=2, F(-3.5)=[-3.5]=-4, F(2)=[2]=2$.

Cómo puedo probar la siguiente propiedad de la función del suelo: $$[a]+[b] \le [a+b]$$

Answer 1

Considere la posibilidad de la representación algebraica de $\mathrm{floor}(x)=\lfloor x\rfloor$ (generalmente el piso de $x$ está representado por $\lfloor x\rfloor$, no $[x]$): $$ x-1<\color{blue}{\lfloor x\rfloor\leq x}. $$ Por lo tanto, para arbitrario $a$$b$, tenemos $$ \lfloor un\rfloor\leq\etiqueta{1} $$ y $$ \lfloor b\rfloor\leq b.\la etiqueta{2} $$ Ahora simplemente agregar $(1)$ $(2)$ juntos para conseguir $$ \lfloor un\rfloor+\lfloor b\rfloor\leq a+b.\la etiqueta{3} $$ Finalmente, tome el piso de ambos lados de $(3)$: $$ \lfloor a+b\rfloor\geq\Bigl\lfloor\lfloor un\rfloor+\lfloor b\rfloor\Bigr\rfloor=\lfloor un\rfloor+\lfloor b\rfloor. $$ Por lo tanto, tenemos que $\lfloor a\rfloor+\lfloor b\rfloor\leq \lfloor a+b\rfloor$, como se desee.

Answer 2

Por la definición de $[x]$ como el mayor entero menor o igual a $x$, tenemos

$$[a]\le a\quad\text{and}\quad [b]\le b$$

y así

$$[a]+[b]\le a+b$$

Ahora $[a]+[b]$ es sin duda un entero (porque es la suma de dos números enteros). Por lo tanto, por la definición de $[x]$ como el mayor entero menor o igual a $x$, tenemos

$$[a]+[b]\le [a+b]$$

Answer 3

Definir $\left\{ a\right\} ,\left\{ b\right\}$ la parte fraccionaria de $a$ y $b$ y asumir la $\left\{ a\right\} +\left\{ b\right\} <1$ . A continuación,$$\left\{ a+b\right\} =\left\{ \left[a\right]+\left[b\right]+\left\{ a\right\} +\left\{ b\right\} \right\} =\left\{ \left\{ a\right\} +\left\{ b\right\} \right\} =\left\{ a\right\} +\left\{ b\right\}.$$ Por lo$$\left[a+b\right]=a+b-\left\{ a+b\right\} =a+b-\left\{ a\right\} -\left\{ b\right\} =\left[a\right]+\left[b\right].$$ Ahora imagine $\left\{ a\right\} +\left\{ b\right\} \geq1$ , a continuación,$$\left\{ a+b\right\} =\left\{ \left[a\right]+\left[b\right]+\left\{ a\right\} +\left\{ b\right\} \right\} =\left\{ \left\{ a\right\} +\left\{ b\right\} \right\} =\left\{ a\right\} +\left\{ b\right\} -1$$ por lo$$\left[a+b\right]=a+b-\left\{ a+b\right\} =a+b-\left\{ a\right\} -\left\{ b\right\} +1>\left[a\right]+\left[b\right].$$

Answer 4

En primer lugar, tenga en cuenta que siempre tenemos $[x] \le x < [x] + 1$. Por lo tanto, $0 \le x - [x] < 1$ para todos los verdaderos $x$. Para mostrar su desigualdad, vamos a $u = a - [a]$$v = b - [b]$. Mi reclamo es que, si $u + v < 1$,$[a] + [b] = [a + b]$, y si $u + v \ge 1$,$[a] + [b] < [a + b]$. Puede usted demostrar que?

Answer 5

De trabajo a lo largo de líneas similares a una respuesta que he dado a otra pregunta, tenga en cuenta que $f:\mathbb R\rightarrow\mathbb Z$ $f(x)=\lfloor x\rfloor$ es una función creciente, que es la identidad en los enteros. También tenga en cuenta que $f(x)\leq x$. Así $$ f(a)+f(b)\leq a+b $$ y la aplicación de la creciente función de $f$ en ambos lados, tomando nota de que el lado izquierdo es un número entero, tenemos $$ f(f(a)+f(b))=f(a)+f(b)\leq f(a+b) $$