Fermat 'prueba' de su Último Teorema de

Question

La definición de una única factorización de dominio se acercó a mi los anillos de la conferencia acerca de hace una semana, y mi profesor mencionó que de Fermat 'prueba' de su Último Teorema probablemente se basó en la (falsa) suposición de que todos los subrings de $\mathbb{C}$ son únicos dominios de factorización. ¿Alguien sabe lo que esta 'prueba' habría parecido?

Answer 1

A menos que nuevos documentos históricos que se descubren, nunca podemos saber con certeza lo que Fermat tenía en mente cuando hizo su famoso FLT a partir de la observación. La mayoría de los número de teóricos probablemente comparten la misma opinión como Weil (citado más adelante), que hizo una primaria de error, por ejemplo, pensar que los resultados para los pequeños exponentes sería generalizar. Hoy en día se sabe que el Último Teorema de Fermat no puede ser probado por ciertos tipos de descenso pruebas similares a las clásicas pruebas simples conocidos para los pequeños exponentes (la búsqueda para "Tate Shafarevich obstrucción").

A continuación se André Weil opinión sobre este asunto, a partir de su tratado histórico de la Teoría de números, p.104.

Como hemos observado en el Cap. I, S. X, los problemas más significativos de Diophantus están preocupados con las curvas de género 0 o 1. Con Fermat esto se convierte en un casi exclusivo de la concentración de tales curvas. Sólo en un malogrado ocasión hizo Fermat nunca mencionan una curva de más de un género, y difícilmente puede permanecer ninguna duda de que esto fue debido a algún malentendido por su parte, a pesar de que, por un curioso giro del destino, su reputación a los ojos de los ignorantes vinieron a descansar principalmente en ella. Por esto nos referimos por supuesto a los imprudentes de las palabras "et generaliter nullam en infinitum potestatem" en su declaración del "último teorema de Fermat", como llegó a ser vulgarly llamado: "Ningún cubo se puede dividir en dos cubos, ni cualquier biquadrate en dos biquadrates, ni en general ningún poder más allá de la segunda en dos de la misma especie", es lo que él escribió en el margen de los principios de una sección de su Diophantus (Fe.Yo.291, Obs.II), agregando que él había descubierto una increíble prueba de esto ", que este margen es demasiado estrecho para contener". ¿Cómo podía haber adivinado que estaba escribiendo para la eternidad? Sabemos que su prueba para biquadrates (cf. anteriormente, S. X); él podría haber construido una prueba de cubos, similar a la que Euler descubrió en 1753 (cf. infra, S. XVI); se repiten con frecuencia estas dos declaraciones (por ejemplo, Fe.II.65,376,433), pero nunca el más general. Por un breve momento, tal vez, y tal vez en su juventud (cf. anteriormente, S. III), él debe haber engañado a sí mismo en el pensamiento de que él tenía el principio de un general de la prueba; lo que él tenía en mente en ese día nunca puede ser conocido.

Comentario $ $ es un común inexacta presentimiento de que dentro de poco-dijo teoremas deben tener corta pruebas. Sin embargo, esto es fácilmente refutada. Para cualquier sistema formal que ha trivial de energía (por ejemplo, la aritmética de Peano) no hay ningún algoritmo recursivo que decide theoremhood. Supongamos que existe una recursiva enlazado $\rm\ L(n)\ $ en la longitud de las pruebas de una declaración de longitud $\rm\:n.\:$ Entonces podríamos prueba para theoremhood ser simplemente enumerar y probar todas las posibles pruebas de longitud de $\rm\le L(n).\,$ por lo Tanto no puede haber tal recursiva límite en la longitud de las pruebas. Por lo tanto, no existen corto-dijo teoremas con arbitrariamente largas pruebas -- pruebas tanto tiempo que probablemente no son susceptibles de comprensión humana (esto fue observado por Goedel en su 1936 papel en la aceleración del ritmo de teoremas).

Answer 2

Es difícil decir lo que Fermat tenía en mente.

Tal vez el origen de su rumor es la siguiente: Alrededor de 1850, los dos matemáticos Gabriel Lamé y Augustin Louis Cauchy había anunciado una prueba para el Último Teorema de Fermat. Sin embargo, el matemático Ernst Eduard Kummer se dio cuenta, y señaló que las dos pruebas de wronly asumió la propiedad de UFD.

Answer 3

Es, nadie lo sabe. Muchos de Fermat resultados que él acaba de anunciar sin pruebas, la mayoría de ellos eran mucho más tarde de lo demostrado por Euler. Y toda el área de álgebra abstracta (anillos y tal) fueron muy lejos en el futuro.