Encontrar el siguiente límite, $\lim_{x\to {\infty}} x\ln((x+1)/(x-1))$

Question

Encontrar el siguiente límite,

$$\lim_{x\to {\infty}} x \ln\left(\frac{x+1}{x-1} \right)$$

He intentado de esta manera, que es $$\lim_{x\to {\infty}} x\ln\left(\frac{1+\frac{1}{x}}{1-\frac{1}{x}} \right)=\infty \times \ln1= \infty \times 0=0$$

Se dio cuenta de mi lógica es horriblemente mal. Probado en una calculadora y el límite debe estar cerca de $0.8$.

Mi segundo intento involucra $$\lim_{x\to {\infty}} x\ln\left(\frac{x+1}{x-1} \right)=\lim_{x\to {\infty}} x(\ln(x+1)-\ln(x-1))$$

Donde todavía no tengo idea de cómo proceder.

Cualquier sugerencias? Gracias de antemano! Lista de ellos en forma de soluciones. Estoy buscando sólo sugerencias.

Answer 1

Actualización: las Upp, se dio cuenta demasiado tarde, de que sólo sugerencias se deseaba. No puedo hacer que la solución después de la primera reformulación en el lado izquierdo (que fueron el toque entonces) invisible, no conocen el látex-truco - lo siento; somebode persona puede editar?

Si no estoy demasiado denso por el momento creo que es
$$ \begin{eqnarray} \lim_{x \to \infty } \ln\left( \left( 1+{2\over x-1 }\right)^x\right) &=&\lim_{x \to \infty } &\ln\left( \left( 1+{2\over x }\right)^{x+1} \right) \\ &=&\lim_{x \to \infty } &\ln \left( \left( 1+{2\over x }\right)^x \left( 1+{2\over x }\right) \right) \\ &=& &\ln \left( e^2 \left( 1+ 0\right) \right) \\ &=& 2 \end{eqnarray}$$

Answer 2

Sugerencia: Nuestra expresión es igual a $$\ln\left(\left(\frac{x+1}{x-1}\right)^x\right).$$

Tenga en cuenta que $$\frac{x+1}{x-1}=1+\frac{2}{x-1}.$$

Otro método que funciona es volver a escribir la expresión como $$\frac{\ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right)}{\frac{1}{x}},$$ utilice la Regla de L'Hospital de una vez, y luego un poco de álgebra.

Observación: Cualquier solución que intenta calcular "$\infty \cdot 0$" es automáticamente incorrecta.

Answer 3

$0 \cdot \infty$ no $0$ es un undeterminate forma. Escribir como fracción, mover a uno de ellos para el denominador (cuidado de no importa cual).

Otra pequeña sugerencia para más tarde: cuando usted necesita para derivare el $\ln$ de una fracción, ¿cuál es el $\ln (\frac{a}{b})$?