Módulo de un número complejo

Question

Ahora me encuentro con un problema relacionado con el análisis complejo

Digamos que tenemos $w=u+iv$

Para qué serviría $$|w|^{2}$$

Reviso un montón de vídeos y notas de clase, y me doy cuenta de que la respuesta es $$u^{2}+v^{2}$$

Puede alguien explicarme por qué es así en lugar de hacer $$u^{2}+2iuv+v^{2}$$ ¿Dónde está el $2iuv$ ¿Ir? Cómo deducir $u^{2}+v^{2}$ ?

Gracias.

Answer 1

La definición de $|w|^2$ es $$|w|^2=w\bar{w},$$ donde $\bar{w}$ es el conjugar de $w$ . Por lo tanto, $$|w|^2=(u+iv)(u-iv)=u^2+v^2.$$

Answer 2

El módulo de un número complejo se define como $\lvert z\rvert = \sqrt{x^2+y^2}$ donde $z=x+iy$ . Es decir, el módulo es la distancia. Otra forma $z$ se puede escribir es en forma polar que se presta a esta forma $z = re^{i\theta} = \lvert z\rvert e^{i\theta}$ . Lo que se confunde es el cuadrado de $z$ con el módulo al cuadrado. $$ z^2 = (x+iy)^2 = x^2 - y^2 + 2iyx\neq x^2 + y^2 = z\bar{z} = \lvert z\rvert^2 $$

Answer 3

$|w|$ representa la distancia de $w$ desde el origen en el plano complejo, ahora se puede utilizar la fórmula de la distancia para calcular el valor de $|w|$ es decir, la forma de distancia $(u,v)$ a $(0,0)$ es el valor si $|w|.$