Para las condiciones dadas, $\frac{\partial u}{\partial t}=0$ a $x=0$ & $u=0$ en $t=0$. La solución de la ecuación diferencial $$\frac{\partial^2u}{\partial x\partial t}=e^{-t}\cos x$$ está dada por
a) $(1-e^{-t})\sin x\qquad $ b) $(-e^{-t})\sin x+g(x)\qquad $ c) $(1+e^{-t})\cos x\qquad $ d) $(-e^{-t})\sin x\qquad $
yo: $$\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial u}{\partial t}\right)=e^{-t}\cos x$$ $$\int \partial \left(\frac{\partial u}{\partial t}\right)=\int e^{-t}\cos x\ \partial x$$ $$\frac{\partial u}{\partial t} =e^{-t}\sin x+f(t)$$ poner $x=0$ & $\frac{\partial u}{\partial t} =0$ llego $f(t)=0$, por lo que $$\frac{\partial u}{\partial t} =e^{-t}\sin x$$ $$\int \partial u =\int e^{-t}\sin x\partial t$$ $$u=-e^{-t}\sin x+g(x)$$ ahora, poniendo $t=0$ & $u=0$ llego $g(x)=\sin x$, por lo que la solución es $$u=-e^{-t}\sin x+\sin x$$$$=(1-e^{-t})\sin x$$ así que la opción (a), pero mi libro dice que la opción correcta es la (d) no sé por qué. por favor explique donde yo estoy equivocado, o cuál debe ser la respuesta correcta? muchas gracias
