Funciones en$L^p$ espacios

Question

Si tengo una función$f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ que pertenece a$L^p(\mathbb{R})$ para todos$p\geq 2$ incluyendo$p=\infty$, eso es$$f \in \bigcap_{p\in [2,\infty]} L^p(\mathbb{R})$ $ y todas las normas tienen el mismo límite, deja decimos que para todos$p\geq 2$$$\|f\|_p \leq C$ $ y$$\|f\|_\infty \leq C$ $

¿Podemos concluir que$f$ también está en$L^p(\mathbb{R})$ para$1< p <2$ y que$$\|f\|_p \leq C?$ $

Answer 1

No. Considere $$ f (x) = \begin{cases} \frac{1}{|x|^\alpha}, & |x| \geq 1\\ 1 & |x|<1. \end {casos} $$ Cuando$1>\alpha > \frac{1}{2}$ esto en$L^p$ para$p\geq 2$, pero no en$L^1$, y de hecho, habrá$1 < q < 2$ para que$f\in L^p$ para$q < p$, pero$f \notin L^p$ para$1 \leq p \leq q$. Las normas$L^p$ están limitadas por la norma$L^p$ - de la norma más pequeña$p$ para que la norma$L^p$ - sea finita.