aclaración sobre la fórmula de Taylor

Question

En la forma de Algrebra Lineal de Hoffman y Kunze, la Fórmula de Taylor se establece como sigue:

Teorema 5. (Fórmula de Taylor) (página 129) Deja que $\mathbb{F}$ sea un campo de característica cero, $c\in \mathbb{F}$ y $n$ un número entero positivo. Si $f$ es un polinomio sobre $\mathbb{F}[X]$ con $\deg f \leq n$ entonces $$f=\sum_{k=0}^{n}\frac{(D^{k}f)}{k!}(c)(x-c)^{k}.$$

Después de demostrar el Teorema, hacen algunos comentarios: "Aunque no daremos detalles, es posible que valga la pena mencionar en este punto que con el interpretación adecuada La fórmula de Taylor también es válida para polinomios sobre campos de características finitas. Si el campo $\mathbb{F}$ tiene características finitas, entonces podemos $k!=0$ en $\mathbb{F}$ , en cuyo caso la división de $(D^{k})f(c)$ por $k!$ no tiene sentido. Sin embargo, se puede dar sentido a la división de $D^{k}f$ por $k!$ porque cada coeficiente de $D^{k}f$ es un elemento de $\mathbb{F}$ multiplicado por un número entero divisible por $k!$ ."

¿Es ésta la "interpretación adecuada"? Esperaba una interpretación sobre un campo como $GF(2)$ .

Gracias por su ayuda.

Answer 1

Por ejemplo, tome $f(x) = (x^3+1)^3 = x^9+3x^6+3x^3+1$ en $\mathbb{Z}_5$ que tiene la característica $5$ . Entonces no tenemos problemas con $D^kf$ para $k \le 4$ pero tenemos problemas con $k=5$ desde $5!=0$ en $\mathbb{Z}_5$ . Sin embargo, si ignoramos este hecho temporalmente, tenemos que

$$\begin{align} \frac{D^5f(x)}{5!} &= \frac{9.8.7.6.5x^4 + 6.5.4.3.2.3x}{5!} \\ &= \frac{4.3.2.1.5x^4 + 1.5.4.3.2.3x}{5!} \\ &= \frac{5!x^4 + 5!.3x}{5!} \\ &= x^4+3x \end{align}$$

Así que estamos bien.

Así que la "interpretación adecuada" es, para campos finitos de orden primo $p$ para trabajar sobre $\mathbb{Z}[X]$ y luego tomar el mapa natural $\mathbb{Z}[X] \rightarrow \mathbb{F}[X]$ . Podrías tener problemas con campos finitos de orden $p^n$ para $n>1$ Pero espero que esto ilustre lo que el autor del libro estaba tratando de conseguir.