Función biholomórfica con derivada acotada.

Question

Deje $U$ libre de subconjuntos de a $\mathbb{C}$ $\psi:U\rightarrow U$ un biholomorphic función (un holomorphic función con holomorphic inversa). Yo quiero probar la siguiente declaración:

Para cada $\epsilon >0$ existe $\delta>0$ que si $\frac{1}{1+\delta}<|\psi'(z)|<1+\delta$ por cada $z\in U$ $|\psi''(z)|<\epsilon$ por cada $z\in U$.

Esto significa que si $\psi$ es biholomorphic y el módulo de su derivada está en todas partes cerca de 1 $\psi$ es "casi" la identidad.

He pensado en ello, pero yo no era capaz de encontrar nada que funciona. El uso de $\psi(\psi^{-1})=Id$ I obtenidos sólo que si $\frac{1}{1+\delta}<|\psi'(z)|<1+\delta$ también $\frac{1}{1+\delta}<|(\psi^{-1})'(z)|<1+\delta$ y $\frac{1}{(1+\delta)^3}<|\frac{\psi''(\psi^{-1})}{(\psi^{-1})''}|<(1+\delta)^3$, pero esto no es suficiente para concluir.

Alguien me puede ayudar? Muchas gracias!

Answer 1

Para el caso de$U =\mathbb D,$, la unidad de disco abierto: Si$f:\mathbb D\to \mathbb D$ es biholomorphic, entonces

PS

para algunos$$f(z) = c \frac{a-z}{1-\bar a z}$ y$a \in \mathbb D$ podemos ignorar$|c|=1.$ Se deduce que

PS

Ahora, si$c.$ para$$f'(z) = \frac{|a|^2-1}{(1-\bar a z)^2},\,\, f''(z) = \frac{2\bar a (|a|^2-1)}{(1-\bar a z)^3}.$ entonces$1-\delta < |f'(z)| < 1+ \delta$ satisface la misma desigualdad. Por lo tanto, de este modo

PS

para$z\in \mathbb D,$ Esto da el resultado.

Answer 2

• Suponga que $U$ es la unidad de disco.

Deje $f(z) = \log \psi'(z)$ que es holomorphic en $U$.

Desde $Re(f(z)) = \log |\psi'(z)|$ que $|Re(f(z))| < C_0 \delta$, y por el Schwarz integral de la fórmula, para $|z| < 1-2\epsilon$ :

$$2 \pi f(z) = \frac{1}{i} \int_{|s| = 1-\epsilon} \frac{s+ z}{s - z} \text{Re}(f(s)) \, \frac{ds}{s}+ 2\pi i\,\text{Im}(f(0))$$ De modo que $2 \pi |f(z)-i\, Im(f(0))| < 2\pi (1-\epsilon)\left(\frac{(1-\epsilon)+(1-2\epsilon)}{(1-\epsilon)-(1-2\epsilon)}C_0\delta\frac{1-\epsilon}{1-\epsilon}\right)< C_1 \delta \epsilon^{-1}$.

Por lo tanto, con la integral de Cauchy fórmula $$\left|\frac{\psi''(z)}{\psi'(z)}\right| = |f'(z)| = \left|\int_{|s-z|=r} \frac{f(s)-i \,\text{Im}(f(0))}{(s-z)^2}ds\right| < C_2 \delta \epsilon^{-2}$$ and $|\psi"(z)| < C_3 \delta \epsilon^{-2}$.

• En general se han $$|\psi''(z)| < C \frac{\delta}{ \min(1,d(z,\partial U))^2}$$ where $d(z,\partial U)$ is the distance to the boundary of $U$, and by looking at $\psi_{\mid V}$ where $V$ is an open disk $\subconjunto U$, this will stay true for any $U$.

• Tenga en cuenta que para un general de holomorphic función de $U \to U$, no se puede hacer mejor que $|\psi''(z)| < C \frac{\delta}{ \min(1,d(z,\partial U))^{1-\epsilon}}$ : tome $U$ la unidad de disco y $\psi(z) = \alpha z+\delta \, (1-z)^{1+\epsilon}, \psi'(z) = \alpha-\delta \, (1-z)^{\epsilon}(1+\epsilon),\psi''(z) = \delta \, (1-z)^{-1+\epsilon}(1+\epsilon)\epsilon$ es ilimitado como $z \to 1$.

• Así que la pregunta es cómo utilizar ese $\psi$ es bi-holomorphic $U \to U$, y si cambia algo.