¿Cómo calcular el grado de polinomio de Lagrange para satisfacer un error dado?

Question

Necesito ayuda. Yo tengo $f(x)=sin(x)$. Si quiero usar el polinomio de Lagrange para hacer una aproximación de$f(x)$, ¿cuál debería ser el grado de ese polinomio si trabajo en el intervalo$[0,\pi]$, y el error,$|sin(x)-L_n(x)|$ debe ser menor? o igual a 0.001?

En otras palabras:$$|sin(x)-L_n(x)|={sin^{(n+1)}(c)\over(n+1)!}(x-x_o)...(x-x_n)\le0.001\ with \ 0\le c \le \pi $ $

Como calcular $n$.

Answer 1

El cálculo del mínimo$n$ parece difícil, especialmente porque no da información sobre el$x_i.$ Si son diferentes por pares, está en el lado seguro si asume$$\left| \sin(x)-L_n(x)\right| \le\left| \frac{\sin^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-x_o)...(x-x_n)\right| \le \frac{\pi^{n+1}}{(n+1)!} =: E_n$ $ y luego calcular el$E_n, n=1,2,\dots$ hasta que$E_n< 0.01\;$ (o sea$0.001?$)

En cualquier caso,$n=12\;$ debería funcionar, porque$E_{10}\approx 0.00737,\;$ $E_{11}\approx 0.00192957,\;$y$E_{12}\approx 0.0004663.$

Answer 2

Basado en su pregunta sin puntos, gammatesters respuesta parece ser la respuesta que usted quiera, pero suponiendo que hemos recogido algunos puntos equidistantes y los intervalos de 1 / 2 como

$$x_i = 0, \frac{1}{2},1,\frac{3}{2},2...3 $$

podríamos encajar el polinomio

$f(x)=$

$a+(x-3)(b+(c+(d+(e+(f-g(x - h))(x-j))(x - .5))(x-k))x)$

con

$ a=.141120008$

$ b=.047040002$

$ c=-.411971103$

$d=-.0472466735$

$e=.037260033506$

$f=.00119275707$

$g=.001301301$

$h=1$

$j=2.5$

$k=1.5$

Los residuos son mucho menos que .001 como la gráfica de ellos se muestra.

Answer 3

Ok, he pensado en la pregunta y he llegado a la conclusión de que:

PS

Dado que el rango de$$\left|{sin^{(n+1)}(c)\over(n+1)!}\right| \le 0.001 = {\left|sin^{(n+1)}(c)\right|\over(n+1)!}\le 0.001$ es$f(x), f'(x),f''(x),...,f^{(n+1)}(x)$ y el intervalo de trabajo es$-1 \le y \le 1$, entonces$[0,\pi]$. Entonces $\left|sin^{(n+1)}(c)\right| \le 1 $.

Resolviendo esta inecuación podemos concluir que${1\over{(n+1)!}}\le0.001 $, por lo tanto,$(n+1)! \ge 1000$

Creo que estoy en lo cierto pero no estoy 100% seguro.