Muestra que$\displaystyle (1-|z|)|f'(z)|\leq\sup_{z\in D}|f(z)|$ para todos$z\in D$

Question

Supongamos que $f$ es una función analítica limitada en el disco de unidad abierta $D$ . Muestre que $$ (1-|z|)|f'(z)|\leq\sup_{z\in D}|f(z)|$$ for all $ z \ en D $

Arreglar $z_{0}\in\mathbb{D}$ . Deje $r=1-|z_{0}|\in(0,1]$ if $ | u-z_ {0} | <r$, then $ | u | \ leq | u-z_ {0} | + | z_ {0} | <r + | z_ {0} | = 1$. And hence $ D_ {z_ {0}} (r) \ subseteq \ mathbb {D} $ . ¿Puede alguien ayudarme a seguir adelante?

Answer 1

De Cauchy de la Integral de la Fórmula, tenemos para $|z|< 1$

$$f'(z)=\frac1{2\pi i}\oint_{|z|=1} \frac{f(z')}{(z'-z)^2}\,dz'\tag 1$$

Entonces tenemos las siguientes estimaciones

$$\begin{align} |f'(z)|&=\left|\frac1{i2\pi}\oint_{|z|=1}\frac{f(z')}{(z-z')^2}\,dz'\right|\\\\ &\le \frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}\frac{|f(e^{i\phi})|}{|z-e^{i\phi}|^2}\,d\phi\\\\ &\le \sup_{z\in \partial \mathbb{D}}|f(z)|\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}\frac{1}{|z|^2+1-2|z|\cos(\phi-\arg(z))}\,d\phi\\\\ &=\sup_{z\in \partial \mathbb{D}}|f(z)|\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}\frac{1}{|z|^2+1-2|z|\cos(\phi)}\,d\phi\\\\ &=\sup_{z\in \partial \mathbb{D}}|f(z)|\times \frac{1}{1-|z|^2}\\\\ &\le \sup_{z\in \partial \mathbb{D}}|f(z)|\times \frac{1}{1-|z|}\tag2 \end{align}$$

Reordenación de las $(2)$ rendimientos

$$(1-|z|)|f'(z)|\le \sup_{z\in \partial \mathbb{D}}|f(z)| $$

Desde

Desde el supremum de $|f(z)|$ a $\mathbb{D}$ es igual a la supremum de $|f(z)|$ a $\partial \mathbb{D}$, tenemos

$$(1-|z|)|f'(z)|\le \sup_{z\in \mathbb{D}}|f(z)| $$

como iba a ser mostrado!