¿Cuál es la región en el plano de coeficiente de modo que$P(x)$ no tiene raíces reales?

Question

Vamos $$P(x)=x^4+px^3+qx^2+px+1$$ where $p,q \in \mathbb{R}$.

Deje $\mathcal{R}$ ser la región en la $pq$ - plano de tal manera que $P(x)$ no tiene raíces reales. Encontrar la región de $\mathcal{R}$.

Mi Progreso:

Mediante la sustitución de $u=x+\frac{1}{x}$, podemos reducir el $P(x)$ a convertirse $Q(u)=u^2+pu+(q-2)$. Desde $P(x)$ no tiene raíces reales, entonces $Q(u)$ no tiene raíces reales, es decir: $\Delta < 0$. Por tanto, tenemos

$$q > \frac{p^2}{4}+2$$

Problema:

Claramente $(p,q)=(0,0)$ resultado $P(x)=0$ no tener raíces reales. Pero este punto no está cubierto en la región, he encontrado anteriormente. Por lo tanto, estoy sospechando que no es otra región de delimitación que me estoy perdiendo.

Preguntas:

1. ¿Cuál es la ausencia de esta región?
2. Puedo usar de algún modo el hecho de que si $x \in \mathbb{R}$,$\left | x+\frac{1}{x} \right | \geq 2$ ?
3. $P(x)$ es un polinomio simétrico, por lo que si $\alpha$ es una raíz, entonces $\frac{1}{\alpha}$ es también una raíz. Puede ser usado?

Answer 1

Pero$Q(u)$ puede tener raíces reales. Si ambas raíces de$Q(u)=0$ se encuentran en el intervalo$(-2,2)$, entonces$x+1/x=u$ es insoluble sobre$\Bbb R$ y$P(x)=0$ no tendrá raíces reales. Por lo tanto, debe encontrar todos los$p$,$q$ de manera tal que o bien$Q(u)=0$ no tenga raíces reales, o dos raíces reales, ambas en$(-2,2)$.

Answer 2

debe considerar la ecuación$$x+\frac{1}{x}=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{\frac{p^2}{4}+2-q}$$ and solve this for $ x $ y obtendrá una condición adicional.