¿Cómo encuentro la ecuación de un círculo, dado el radio y las coordenadas del centro?

Question

Digamos que me piden que encuentre, en forma expandida sin corchetes, la ecuación de un círculo con un radio de 6 y un centro 2,3. ¿Cómo continuaría haciendo esto?

Sé que la ecuación de un círculo es$x^2 + y^2 = r^2$, pero ¿qué hago con esta información?

Answer 1

La ecuación de un círculo con el centro$(a,b)$ y el radio$r$ es$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$.

Answer 2

La ecuación de un círculo con el centro en$(0,0)$ es$x^2+y^2=r^2$. Esto se debe a que el círculo con el radio$r$ se compone de todos los puntos que están a$r$ de distancia de$(0,0)$, y desde la distancia de un punto$(x,y)$ de$(0,0)$ es$\sqrt{x^2+y^2}$, esto significa que la ecuación será$$\sqrt{x^2+y^2}=r,$ $ o, al cuadrar eso,$$x^2+y^2=r^2.$ $

Insinuación

Para centrar el punto alrededor de un punto arbitrario, piense en cómo calcularía la distancia entre$(x,y)$ y ese punto arbitrario.

Answer 3

La ecuación se presenta así:$$(x-2)^2+(y-3)^2=36,$$which can bee seen as translating a circle with radius 6 and center $ (0,0)$ (the equation you mentioned) to the new center $ (2,3) $.

Answer 4

La solución general para el círculo con centro$(a,b)$ y el radio$r$ es $$ (xa) ^ 2 + (yb) ^ 2 = r ^ 2. $$ Ahora, tenemos el centro$(2,3)$ y el radio$6$, por lo tanto, la ecuación del círculo es \begin{align} (x-2)^2+(y-3)^2&=6^2\\ x^2-4x+4+y^2-6x+9&=36\\ x^2+y^2-4x-6y+4+9-36&=0\\ \large\color{blue}{x^2+y^2-4x-6y-23}&\large\color{blue}{=0}. \end {align}