Encuentra una función f(u) tal que la siguiente EDO sea exacta.

Question

Así que estoy un poco desconcertado con esta pregunta:

Encuentra una función f(u) tal que esta función sea exacta:

$$\ f(x+y)+\ln(x)+(e^{x+y}+y^2)y'=0,$$ mis pensamientos iniciales fueron establecer

$$\ P(x,y):= f(x+y)+\ln(x); Q(x,y):=e^{x+y}+y^2,$$

entonces $$\dfrac{\partial P}{\partial y}=f'(x+y)=e^{x+y}=\dfrac{\partial Q}{\partial x}, $$ ${}{}{}$

así que $$\ f(x+y)=e^{x+y}, $$

¿Esto es correcto? Gracias de antemano.

EDIT: para mostrar la respuesta correcta, ¡gracias a todos!

Answer 1

Mejor, $\dfrac{\partial P}{\partial y}=f'(y+x)=e^{x+y}=\dfrac{\partial Q}{\partial x}$

$$f(x+y)=\int e^{x+y}dx+g(y)=$$

$$=e^{x+y}+g(y)$$

$$f(x+y)=\int e^{x+y} dy+h(x)=$$

$$=e^{x+y}+h(x)$$

$g(y)=0$ , $h(x)=0$

$e^{x+y}+\ln(x)+(e^{x+y}+y^2)y'=0$