Supongamos $f,g$ son reales con valores en $\mathbb{R}$ (y sin más restricciones aparte de la evidente exigencia de que la integral existe), entonces ¿cuándo $\displaystyle\int f(x)g(x)\,dx = \int f(x) \, dx \int g(x) \, dx$? (todas las integrales indefinidas)
Esta pregunta fue planteada en otro sitio, y me preguntaba si hay alguna de las grandes clases de funciones $f,g$ que trabajo.
Además de la solución trivial, cosas como $f(x) = e^{nx}, g(x) = e^{\frac{n}{n-1}x}$ $(n\not= 1)$ el trabajo por la inspección.
He tratado de rehacer el problema como:
$$\int F^2 - \left(\int F\right)^2 = \int G^2 - \left(\int G\right)^2$$
Con $F=f+g, G=f-g$, para introducir cierta simetría. Esto da lugar a las similitudes con la varianza de las fórmulas, pero nada más que eso.
Usando el poder de la serie de $F(x) = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n, G(x) = \sum_{n=0}^{\infty} b_nx^n$, y el producto de cauchy, esta ecuación se reduce a:
$$\sum_{m=0}^n \frac{(n-m)(a_ma_{n-m} - b_mb_{n-m})}{(n+1)(n-m+1)}= 0\qquad \forall n\geq 0$$
Pero, de nuevo, el progreso es limitado.
Gracias de antemano!
