En mod3, es 3 mayor que o menor que 1?

Question

En aritmética modular (es decir mod3), es el número más grande (3) mayor o menor que el número más pequeño?

Porque, intuitivamente, sería mayor, pero 3+1=1 en mod3 lo que podría sugerir que es más pequeña.

Answer 1

Usted no puede tener una noción de orden (un conjunto de relaciones de la forma $a<b$) que está de acuerdo con $a+c<b+c$ en dicho conjunto, debido a que hay un número finito $n$ de las veces usted puede agregar $1$ a sí mismo para obtener $0$, y así $$ 0<1<1+1<\dotsb< \underbrace{1+\dots+1}_n=0, $$ que no tiene ningún sentido.

Eres bienvenido a definir $0<1<2<\dotsb<n-1$, pero puede no ser compatible con la adición.

Answer 2

Los enteros modulo $n$ forma de un anillo, pero no es un anillo de pedida, por lo que generalmente no tiene sentido hablar de un elemento de un anillo de ser mayor o menor que otro.

La razón por la que no podemos definir un orden en los enteros modulo $n$ ( $n > 1$ ) es que las siguientes propiedades, en general se espera de una orden de relación, no todos al mismo tiempo, en un número finito de anillo con más de un elemento:

1. totalidad: para todos los $a$$b$, $a \leq b$ o $b \leq a$.
2. antisymmetry: si $a \neq b$$a \leq b$,$b \nleq a$.
3. transitividad: si $a \leq b$$b \leq c$,$a \leq c$.
4. traducción de invariancia: si $a \leq b$,$a + c \leq b + c$.

En particular, si hemos tenido una relación en los enteros modulo $n$, entonces, por la totalidad y antisymmetry, $0 \leq 1$ o $1 \leq 0$ tendría que llevar a cabo, pero no tanto. Suponiendo, sin pérdida de generalidad, que el $0 \leq 1$, podríamos aplicar la traducción de la invariancia $n-1$ veces para mostrar que $1 \leq 2$, $2 \leq 3$, $3 \leq 4$, y así sucesivamente hasta el $n-1 \leq n$. Por transitividad, por lo tanto podemos concluir que el $1 \leq n$; pero, puesto que el $n \equiv 0$ en el anillo de los enteros modulo $n$, esto implicaría $1 \leq 0$, lo que, junto con la anterior suposición de que $0 \leq 1$, conduciría a una contradicción, a menos $n = 1$.

Dicho esto, si dejamos caer (o incluso simplemente relajarse) una de estas cuatro propiedades, es posible encontrar la "orden" de las relaciones en los enteros modulo $n$ que satisfacen las tres restantes. Por ejemplo, es perfectamente razonable para identificar los elementos de $\mathbb Z / n \mathbb Z$ con los más pequeños no negativo representantes, y a fin de que estos como uno normalmente (es decir,$0 < 1 < 2 < \dotsb < n-1$), pero este orden no es la traducción invariante en el modulo $n$; en particular, por este orden, $-1 \equiv n-1 > 0$ modulo $n$.

Por el contrario, renunciando a la transitividad, es también posible definir un total, antisimétrica y traducción invariante en el "orden" en los enteros modulo $n$. Por ejemplo, para el extraño $n$, podemos definir $a \preceq b$ $\iff$ $(b-a) \bmod n \le n/2$, donde $x \bmod n$ significa el menor entero no negativo congruente a $x$ modulo $n$. (Si queremos también relajarse, ya sea de la totalidad o antisymmetry un poco, esto puede ser incluso $n$, también.) Esencialmente, si tuviéramos que dibujar los enteros modulo $n$ igualmente espaciados en un círculo, $a \preceq b$ mantendría siempre $a$ se encuentra en el medio del círculo "detrás" $b$.

Answer 3

Mi interpretación de la aritmética modular fue que reducir todo a el grupo {0, 1, 2}, lo que significaría que el 3 sería el equivalente a 0. Por lo tanto, la pregunta "es 3 mayor que 1 (mod3)" no tiene sentido, ya que el 3 no está en su número de línea; la pregunta sería simplemente "es 0 mayor de 1", para la cual la respuesta es no.

EDIT: lo Siento, no ver; esto es básicamente lo que iadvd dijo, pero menos completo.

Answer 4

Es sólo debido a las propiedades de la aritmética modular, en su muestra, el mayor número posible de poder obtener el mod $3$$2$, debido a los posibles residuos de la división sólo se $\{0,1,2\}$.

$3 \bmod 3$ es congruente a $0$, debido a que el residual de $3$ dividido por $3$$0$. De acuerdo a las propiedades de la aritmética modular:

$$(a+b) \bmod 3 = (a \bmod 3) + (b \bmod 3)$$

así

$$(3+1) \bmod 3 = (3 \bmod 3) + (1 \bmod 3) = 0 + 1 = 1$$

En otras palabras, usted puede usar el orden sólo se aplica a los resultados de la mod de la operación, que en el $\bmod 3$ caso $\{0,1,2\}$.