Prueba de que $A \subset f^{-1}(f(A))$

Question

Sea $f: X \rightarrow Y$ sea una función. $A \subset X$ y $B \subset Y$ . Prueba $A \subset f^{-1}(f(A))$ .

Este es mi enfoque.

Sea $x \in A$ . Entonces existe alguna $y \in f(A)$ tal que $y = f(x)$ . Por la definición de función inversa, $f^{-1}(f(x)) = \{ x \in X$ tal que $y = f(x) \}$ . Así $x \in f^{-1}(f(A)).$

¿Le parece bien y cómo puedo mejorarlo?

Answer 1

Tu prueba parece bastante buena. Lo único que hay que señalar es cuando usted dijo:

Por la definición de función inversa, $f^{-1}(f(x)) = \{ x \in X$ tal que $y = f(x) \}$ . Así $ x \in f^{-1}(f(A)).$

Dos comentarios al respecto:

1. Esto no suele llamarse función inversa -- lo reservamos para cuando $f$ es invertible, y tiene una función $f^{-1}: Y \to X$ . En su lugar, $f^{-1}$ aquí se denomina imagen inversa que no es una función $Y \to X$ sino que toma subconjuntos de $Y$ a subconjuntos de $X$ . Es confuso, lo sé, que tengan el mismo símbolo $f^{-1}$ para ambos.

2. Su descripción de $f^{-1}(f(x))$ es un poco confuso, aunque el razonamiento sea correcto. Debería serlo, $\{x' \in X \text{ such that } f(x') = f(x)\}$ . Esa es la definición de $f^{-1}(a)$ donde puse $a = f(x)$ . Y utilicé $x'$ en lugar de $x$ porque no quieres mezclar tus dos diferentes $x$ s.

Answer 2

Una buena nemotecnia sobre las preimágenes es: $$x\in f^{-1}(C)\iff f(x)\in C\tag1$$ Es evidente que: $$\forall x\left[x\in A\implies f\left(x\right)\in f\left(A\right)\right]$$

Según $(1)$ aquí $f(x)\in f(A)$ puede sustituirse por $x\in f^{-1}(f(A))$ .

Esto resulta en: $$\forall x\left[x\in A\implies x\in f^{-1}(f(A))\right]$$ o equivalentemente: $$A\subseteq f^{-1}(f(A))$$

Answer 3

"existe algún $y\in f(A)$ tal que $y=f(x)$ " es una forma engorrosa de expresarlo. Yo diría simplemente $y = f(x)$ ." Además, yo evitaría utilizar la misma letra, $x$ en dos sentidos diferentes, sobre todo teniendo en cuenta que no todos los puntos cuya imagen bajo $f$ es igual a $f(x)$ tiene que ser el mismo que $x.$

Answer 4

Proposición. Sea $X$ y $Y$ sean conjuntos. Sea $f:X\to Y$ . Para cada $A\in\mathscr{P}(X)$ , $A\subseteq f^{-1}(f(A))$ .

Prueba. Sea $A\in\mathscr{P}(X)$ ser arbitraria. \begin{align} f^{-1}(f(A))&=\{z\in X:f(z)\in f(A)\}\\ &=\{z\in X:f(z)\in\{y\in Y:(\exists x\in A)[f(x)=y]\}\}\\ &=\{z\in X:(\exists x\in A)[f(x)=f(z)]\}. \end{align} $$A\subseteq f^{-1}(f(A)).$$

Observación. Sea $X$ y $Y$ sean conjuntos. Sea $f:X\to Y$ . Si $f$ es inyectiva (es decir, unívoca), entonces para cada $A\in\mathscr{P}(X)$ , $A= f^{-1}(f(A))$ .