Para la pregunta 2, F\otimes_A - ha dejado adjunto iff F es finitely generado, y el adjunto a la izquierda es siempre exacta. Por si (f_i)\in F^I es un elemento de un infinito producto de copias de F, entonces es fácil ver (f_i) es en la imagen de la canónica mapa de F\otimes_A A^I\to F^I fib \{f_i\} está contenida en un finitely generado submódulo de F. Si F\otimes_A - tiene un adjunto a la izquierda, entonces este canónica mapa debe ser un isomorfismo, y de ello se sigue que F debe ser finitely generado. Por el contrario, si F es finitely generado (y por lo tanto proyectivas), F^{\vee}\otimes_A - es adjunto a F\otimes_A - en ambos lados.
(Por un argumento similar utilizando en su lugar la inyectividad del mapa F\otimes_A A^I\to F^I, se puede demostrar que los F debe ser finitely presentado, incluso si usted no asume A es Noetherian. Así que para no Noetherian A, todavía tiene que F\otimes_A - ha dejado adjunto iff F es finitely presentado y plana, o, equivalentemente, finitely generado y proyectivo.)
Tenga en cuenta que en este caso también se pueden ver directamente que F\otimes_A - conserva injectives, ya F es un sumando directo de un finitely libres generados por el módulo y tensoring con un finitely libres generados por el módulo obviamente conserva injectives. En general, sin embargo, F\otimes_A - podría preservar injectives sin tener una izquierda adjunto. Por ejemplo, es bien conocido teorema de que un anillo es Noetherian iff cualquier (posiblemente infinita) suma directa de inyectiva módulos es inyectiva. Así que ya estás asumiendo A es Noetherian, tensoring con cualquier módulo conserva injectives, y por lo tanto también lo hace tensoring con cualquier módulo proyectivo.
