ayudar en la comprensión de los vectores de tangentes

Question

En Aarón respuesta aquí...

"Dado un colector $M$, y un punto de $p\in M$, tenemos un espacio vectorial $T_pM$ de los vectores tangente a$M$$p$. Por ejemplo, si usted toma la esfera hueca que se encuentra dentro de $R^3$, se puede ver en el plano que se encuentra tangente a un punto, y convertirlo en un espacio vectorial. Estos vectores tangente actuar en funciones al tomar la derivada direccional de una función en un punto."

....esto es de Aarón de la respuesta en el enlace mencionado en la pregunta. Aquí dice que cualquier vector en el plano tangente a la esfera en un punto dado pertenece al espacio de la tangente en ese punto. bien.. pero de nuevo se dice que "Estos vectores tangente actuar en funciones al tomar la derivada direccional de una función en un punto." No entiendo la última declaración y agradecería un poco de ayuda. Gracias

Answer 1

Si $\gamma: [0, 1]\to \mathbb R^n$ es una curva que pasa por el punto a $p\in \mathbb R^n$, entonces el vector tangente de $\gamma$$p$, generalmente, se define como el vector $$ \dot \gamma(t_0) = \left.\frac {\operatorname d} {\operatorname d t}\right\vert_{t_0} \gamma(t)\in \mathbb R^n \tag 1 $$

Podemos asociar a $\gamma$ el diferencial de operador $$ X_p :f\C^\infty(\mathbb R^n) \a \left.\frac {\operatorname d} {\operatorname d t}\right\vert_{t_0} f(\gamma(t)) \in \mathbb R \tag 2 $$

La siguiente igualdad tiene $$ X_p f = \dot\gamma(t_0)\cdot\nabla f $$ Se muestra el operador $X_p$ está totalmente determinado sólo por $\dot\gamma(t_0)$, por lo tanto llamado el vector tangente de $\gamma$ $p$ es tan natural como la definición (1).

La definición anterior no puede ser utilizado directamente para las curvas en los colectores: desde que generalmente no son espacios vectoriales no podemos tomar a la suma de los puntos o de los productos de los puntos con números reales, por lo que no puede formar la derivada en (1).

La definición (2), en cambio, puede ser extendida sin modificaciones a los colectores.

Ahora, un vector tangente a un colector en un punto $p$, $X_p$, es el vector tangente a $p$ a algunos curva de $\gamma$, por lo que es un operador que se asocia a las funciones lisas sus derivados a lo largo de la ruta de $\gamma$.

Answer 2

Para cualquier ruta de acceso en el colector de $M$ pasa por el punto de $p$, es natural preguntarse qué una determinada función de la tasa de cambio a lo largo de esa ruta, específicamente en el punto de $p$. En el espacio Euclidiano, estudió en cálculo vectorial, esta cantidad está representada por el producto escalar del gradiente con la curva del vector tangente, es decir,$\nabla f \cdot \vec{n}$. En el caso más general tenemos básicamente la misma cosa; el gradiente es un vector de campo que, cuando a punto con el vector tangente $v \in T_pM$ en el tensor de la contracción, nos dice el tipo de cambio de la función en el punto de $p$ a lo largo de cualquier camino que pasa a través de él tangente a $v$.

En una más semántica nota, cuando los matemáticos decir $X$'s de la "ley" en la $Y$'s que significa que hay una regla de aplicación de la $X$'s de la $Y$'s de modo que, cuando el $X$ se mantiene fijo asciende a un mapeo de las $Y$'s para alguna otra estructura. Lineal de los mapas de "actuar" en espacios vectoriales tomando sus elementos a algún otro espacio, permutaciones "ley" en multivariable funciones por permuting sus variables de entrada y por lo tanto la creación de una (la mayoría del tiempo) nueva y distinta función, etc.

Answer 3

Supopse hemos coordenadas locales $x_1,\ldots,x_n$. Considere la posibilidad de diferencial operador $L=a_1\frac{\partial}{\partial x_1}+a_2\frac{\partial}{\partial x_2}+\ldots+a_n\frac{\partial}{\partial x_n}\ $. Las coordenadas de los vectores $a=(a_1,\ldots,a_n)$ cambio en la misma forma como coeffitients de $L$, por lo que no es natural de la correspondencia entre ellos (en realidad, los vectores se definen como tales a los operadores con la ayuda de curvas como se describe en la página wiki en tu post.) La aplicación de $L$ a una función suave $f$ obtenemos $Lf(x)=a_1\frac{\partial f(x)}{\partial x_1}+a_2\frac{\partial f(x)}{\partial x_2}+\ldots+a_n\frac{\partial f(x)}{\partial x_n}\ $. Como se mencionó anteriormente en el espacio Euclidiano es la derivada direccional de $f$.