¿Es $\left(\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{n!}A^n\right)v=\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{n!}(A^nv)$?

Question

Supongamos que tenemos una serie de potencias convergente de matrices $$A=\sum_{n=0}^\infty a_nX^n,$$ para $X\in M_n(\mathbb{C})$. ¿Es cierto que si $v\in\mathbb{R}^n$ entonces $$Av=\sum_{n=0}^\infty a_n(X^nv)?$$ Si no, ¿bajo qué condiciones es cierto?

Estoy haciendo esta pregunta porque estoy tratando de probar que si $\lambda$ es un valor propio de $A$, entonces $e^\lambda$ es un valor propio de $\exp(A)$. De hecho, si $Av=\lambda v$ entonces $$\exp(A)v=\left(\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{n!}A^n\right)v\stackrel{?}{=}\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{n!}(A^nv)=\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{n!}\lambda^nv=e^\lambda v.$$ Pero no estoy seguro si la segunda igualdad está justificada. De lo contrario, podemos intentar demostrar que $$\det(\exp(A)-e^\lambda I)=0,$$ pero esto parece mucho más difícil.

Answer 1

$\sum\limits_{n\geq0}X_n$ denota el límite de $\sum\limits_{n\geq0}^kX_n$ a medida que $k\to\infty$. Dado que la multiplicación de matrices es continua, esto significa que $\bigl(\sum\limits_{n\geq0}X_n\bigr)v$ es el límite de $$\bigl(\sum\limits_{n\geq0}^kX_n\bigr)v\tag{1}$$ a medida que $k\to\infty$.

Por otro lado, $\sum\limits_{n\geq0}X_nv$ denota el límite de $$\sum_{n\geq0}^kX_nv\tag{2}$$ a medida que $k\to\infty.

Verifique que ambas secuencias (1) y (2) son de hecho las mismas.