Ayuda para arreglar mi ejemplo roto de la invariante Arf

Question

Necesito ayuda para arreglar un ejemplo roto que se me ha ocurrido. En concreto, quería utilizar el invariante Arf para distinguir dos superficies no homeomórficas. Esa es la primera parte que está rota ya que no hay superficies que tengan los mismos grupos de homología pero que no sean homeomorfas. Así que no gano nada porque los grupos de homología ya me permiten distinguir dos superficies.

Concretamente, lo que intentaba hacer era esto: observar que el número de intersección define un emparejamiento bilineal (una forma de intersección en este caso) y luego calcular el invariante Arf de $q(x)=\langle x,x \rangle$ . Estúpidamente, para las superficies orientables, esto siempre me da $q(x)=\langle x,x \rangle = 0$ y por lo tanto $\mathrm{Arf}(q) = 0$ .

Por otro lado, para $\mathbb R P^2$ En este caso, sólo hay un vector base, por lo que ni siquiera puedo definir el invariante Arf (ya que no puedo definir una forma de intersección, ya que necesitaría una dimensión par). Así que esta es la segunda parte que se rompe.

Ahora estoy atascado. ¿Cómo puedo solucionarlo? ¿Cuál es el ejemplo más sencillo de dos variedades (o espacios topológicos, si quieres) que puedo distinguir utilizando el invariante Arf? Gracias por la ayuda.

Answer 1

No veo cómo arreglar tu ejemplo, las superficies no son lo suficientemente ricas.

Para conseguir algo un poco más rico, los 3-manifolds tienen algo llamado forma de enlace de torsión. Se trata de un mapa bilineal simétrico:

$$\tau H_1(M,\mathbb Z) \times \tau H_1(M,\mathbb Z) \to \mathbb Q / \mathbb Z$$

donde $\tau H_1(M,\mathbb Z)$ es el subgrupo de elementos de torsión de $H_1(M,\mathbb Z)$ . En el espacio de la lente $L_{p,q}$ el valor de este formulario en $(x,x)$ donde $x$ genera $H_1$ es $\pm r^2 q/p$ . Donde $r$ es un número entero.

Así que se podría restringir la forma de enlace de torsión de los 3-manifolds al subgrupo de 2 torsiones y calcular el invariante de Arf de eso.

Creo que la invariante Arf distinguiría

$$L_{p,q} \# L_{p,q} \text{ and } L_{p,q} \# L_{p,-q}$$

Proporcionado $p$ es par y $L_{p,q}$ no admite una homotopía-equivalencia inversa a la orientación (que creo que es cuando $q \neq -r^2 q$ modulo $p$ .

¿Has mirado algo así?