'Producto escalar en un Espacio de Vectores $\mathbb{F}_2$

Question

Deje $\mathbb{F}_2$ a ser el campo con 2 elementos, y considerar la posibilidad de $\mathbb{F}_2^n$, el espacio de todos los $n$-tuplas $\mathbb{F}_2$. Esta es una $n$-dimensional espacio vectorial sobre $\mathbb{F}_2$, y podemos presentar el siguiente "punto" producto para cada par de vectores $x,y$$\mathbb{F}_2^n$ ; si $x=(x_1,\ldots,x_n)$$y=(y_1,\ldots,y_n)$, podemos definir

$$\langle x,y\rangle:=x_1y_1+\cdots+x_ny_n=\sum_{i=1}^{n}x_iy_i$$

Claramente este es un bilineal simétrica forma, y mi pregunta es: ¿cuándo esta forma se convierten en no-degenerada? Más precisamente,

Para que subespacios $V$ ( $\mathbb{F}_2^n$ ) no la inducida por la forma bilineal $\langle \cdot,\cdot\rangle:V\times V\rightarrow\mathbb{F}_2$ se convierten en no-degenerada?

He estado luchando con este problema durante bastante tiempo, pero todavía no veo cómo el enfoque en la manera correcta. Cualquier consejo es bienvenido.

Answer 1

Será más fácil hablar de subespacios en los que se hace degenerar. Esto significa subespacios $V$ que contiene un vector distinto de cero $v$ tal que $\langle v, w \rangle = 0$ todos los $w \in V$. En particular, $v$ debe satisfacer $\langle v, v \rangle = 0$; dichos vectores son llamados vectores nulos o isotrópica vectores, y por esta particular forma bilineal son precisamente los vectores $v \in \mathbb{F}_2^n$ con un número distinto de cero de entradas.

Dado un vector distinto de cero $v$, el complemento ortogonal

$$v^{\perp} = \{ w \in \mathbb{F}_2^n : \langle v, w \rangle = 0 \}$$

puede ser explícitamente describe de la siguiente manera. Si $v$ tiene un valor distinto de cero entradas en los índices de $i_1, \dots i_k$, $\langle v, w \rangle = 0$ fib entre el $i_1, \dots i_k$th entradas de $w$ un número par de ellos son diferentes de cero.

Todos los degenerados subespacio $V$ puede ser construido por tomar una isotrópica vector $v$ y, a continuación, dejando $V$ ser cualquier subespacio de $v^{\perp}$ contiene $v$. Esta no es tan buena como la clasificación, aunque. Sería agradable ser capaz de contar los degenerados subespacios, ya que hay un número finito de ellos. Una palabra clave relevante aquí debe ser "isotrópica Grassmannian."