Estrategias para la organización de las monedas en un círculo

Question

Supongamos que usted ha $n$ idénticos a circular las monedas y le gustaría disponer en la mesa, de modo que sus bordes toque y sus centros de mentira en un círculo.

Matemáticamente, no hay problemas. "Sólo" poner el centro de cada una de las monedas en $re^{2ik\pi/n}$ $k$ $\{0, 1\ldots, n-1\}$ y algunos adecuado $r$. Pero en la práctica, no se puede calcular fácilmente la $e^{2ik\pi/n}$ y uno no sería capaz de posición de las monedas, incluso si las coordenadas de sus centros.

Lo que quiero son heurísticas que permiten a la posición de las monedas aproximadamente correctamente, lo que puede ser ejecutado por una persona con una ordinariamente buen ojo y normalmente buenas manos, sin necesidad de dispositivos de medición.

Buenas soluciones para $n\le 3$ son triviales. También hay una buena solución para el caso especial de $n=6$, que es el de organizar las seis monedas alrededor de un séptimo. En la práctica, no parece demasiado difícil de organizar cuatro monedas en una plaza, por primera estimación de los ángulos rectos y luego mirar a ver si la resultante de un cuadrilátero es visiblemente rómbico. Pero me encantaría ver un enfoque metódico.

Este es un soft que se trate. Espero que la solución para estar informado a través de las matemáticas, pero no puramente matemática.

Answer 1

Si se le permite utilizar el excedente de monedas, colocarlos juntos para formar un grande malla hexagonal en la (aproximado) la forma de un círculo con centro de $C$ y radio de $r$. Es entonces algebraicamente sencillo encontrar lo que estas monedas son más cercanos a $re^{2 i k \pi / n}$.

Ahora, retire todas las demás monedas y utilizarlos para comprar algo de cuerda. Coloque una cadena de $C$ a los centros de cada una de las monedas restantes; el contrato a lo largo de las cadenas.

He aquí un ejemplo con un par de cientos de monedas y $n = 11$:

Answer 2

Para un gran número de monedas, me gustaría aplicar un proceso iterativo sistema inspirado por el medio de la curvatura de flujo. En otras palabras, sólo seguir empujando en monedas que se adentra, hasta que la curvatura de todo el arreglo es uniforme.

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Se puede considerar que la disposición de las monedas como un polígono cuyos vértices son los centros de las monedas, y cuyos bordes conectar monedas adyacentes y son todos de la misma longitud. El polígono es regular si y sólo si todos sus ángulos internos son iguales, lo que ocurre si y sólo si cada uno de los ángulos es igual a (i) el promedio de todos los ángulos, y/o (ii) el promedio de los ángulos en los vértices adyacentes. Si usted puede comparar ángulos adyacentes por el ojo, o decir que los vértices tienen el mayor y el menor de los ángulos de todos, entonces usted puede darles un empujoncito en la dirección correcta.

En la práctica, he encontrado que este tiene un par de limitaciones. En primer lugar, es fácil de inserción de monedas, hacia adentro, porque el resto de ellos se moverá automáticamente fuera del camino, pero si usted empuja una moneda hacia el exterior, usted tiene que conectar cuidadosamente la disposición. Segundo, el procedimiento converge muy lentamente. Usted puede rápidamente llegar a un suave oval, después de que mover las monedas de una en una es una frustrante restringido de la forma redonda el acuerdo.

Answer 3

Como nuestros ojos detectar fácilmente (ausencia de) simetría de espejo propongo la siguiente: Comenzar con una forma más o menos circular de diseño; a continuación, symmetrize de forma iterativa con respecto a seleccionados al azar de los ejes.

Answer 4

El principal problema es calcular el radio del círculo grande de monedas, ya que si sabemos que esto sólo podemos medir 2 lados adyacentes de un punto central e ir de allí.

El plan es organizar las monedas "como un n-ágono regular", es decir asociar el diámetro, $D$, de una moneda a la unidad de longitud de la n-gon.

Suponiendo que para N monedas podemos fácilmente calcular" las raíces de la unidad, se puede calcular la distancia en el plano complejo entre dos adyacentes raíces de la unidad, $L$, y a escala de toda la n-gon formado por las raíces de la unidad, de forma que cada lado tiene una longitud de $D$. En otras palabras, el radio que estamos buscando es $\frac{D}{L}$.