Abrir conjuntos de integral de los esquemas de

Question

La siguiente es la definición de integral esquema de como se menciona aquí

Deje $X$ ser un esquema. Podemos decir $X$ es integral si es no vacío y para cada vacía afín a abrir $\operatorname{Spec}(R)=U \subset X$ el anillo de $R$ es una parte integral de dominio.

¿Cómo puedo demostrar que para cualquier conjunto abierto $U$, $\mathcal{O}_X(U)$ es una parte integral de dominio?

Answer 1

En primer lugar, $X$ es irreductible: si no, entonces yo podría encontrar a dos disjuntos no vacíos afín abre y el anillo de coordenadas de su unión no sería un dominio. Para todos los afín a abrir$U \subseteq X$,, $\mathscr O(U)$ inyecta en su localización $R(X)$, el campo de función de $X$. De ahí que el mismo es cierto para arbitrario abrir $U$.

Answer 2

Usted puede escribir $U=\bigcup_{i\in I}U_i$ donde $U_i$ es no vacío afín y abierto. Deje $f,g\in O_X(U)$ tal que $fg=0$. Denotar por $f_i$ la restricción de $f$$U_i$, usted tiene $f_ig_i=0$, esto implica que $f_i=0$ o $g_i=0$. Lema 27.3.4 de su referencia muestra que $X$ es irreductible y reducido, esto implica que $U_i$ es densa, supongo $f_i=0$, $\{f(x)=0\subset X\}$ es un subconjunto cerrado que contiene el subconjunto denso $U_i$, por lo que es $X$.