Es posible tener $D=\Bbb P$

Question

Deje $f:\Bbb R\to \Bbb R$ $D=\{x\in \Bbb R: f $ es discontinua en a $x\}$.

Mi problema es : ¿Es posible tener $D=\Bbb P$ donde $\Bbb P$ es el conjunto de irrationals en $\Bbb R$.

Sé que la respuesta es negativa, pero, ¿cómo demostrarlo??

Mi intento: en Primer lugar, me demostró que $\Bbb P$ no es un contable de la unión de conjuntos cerrados en $\Bbb R$.Luego, leí en alguna parte que $D$ $F_{\sigma}$ (pero no saben cómo demostrarlo).

Si se pudiera probar la segunda parte, el problema está resuelto, pero ¿Cómo hacerlo?? Gracias de antemano!!

Answer 1

Denotar $$G_{k}:=\bigcup\{U\subset\mathbb{R}:U\,\,\mathrm{is}\,\,\mathrm{open}\,\,\mathrm{and}\,\,|f(x)-f(y)|<\frac{1}{k}\,\,\mathrm{for}\,\,\mathrm{all}\,\,x,y\in U\}$$ para todos los $k\in\mathbb{N}$. Mostrar que $D^{c}=\bigcap_{k=1}^{\infty}G_{k}$ $D^{c}$ (es decir, la continuidad de los puntos de $f$)$G_{\delta}$ -, y $D$$F_{\sigma}$. Si necesitas algo de ayuda sobre los pasos que puede ampliar esta respuesta o dar sugerencias en la sección de comentarios.

Y por cierto, irrationals no es $F_{\sigma}$ porque racionales es no $G_{\delta}$. Si racionales se $G_{\delta}$, entonces, como una contables completamente metrizable espacio topológico ($G_{\delta}$ subconjuntos de un espacio métrico completo son completamente metrizable) tiene un aislamiento punto por categoría de Baire teorema. Pero desde racionales no tienen aislamiento puntos, esto es una contradicción. Por lo tanto racionales es no $G_{\delta}$ y por lo tanto irrationals no es $F_{\sigma}$.