Momento de Generación de la Función y la transformada Inversa de Laplace

Question

Necesito calcular la transformada inversa de Laplace de la función

$$ M(t)=e^{\frac{t^2}{2}} $$ Ahora, sé que esta es una distribución normal con media cero y varianza 1, pero, ¿cómo los cálculos se realizan? La fórmula para la inversa de la transformada de Laplace no me ayuda, ya sea... sería genial si alguien pudiera ayudar!

Answer 1

La transformada inversa de Laplace puede ser calculado mediante la fórmula estándar (ver esta página), que establece que si $F$ es la transformada de Laplace de $f$, $f$ puede ser recuperado a través de la integral de línea $$f(t)=\frac{1}{2\pi i}\lim_{T\to\infty}\int_{\gamma-iT}^{\gamma+iT} e^{tz}F(z)dz$$ where $\gamma$ is suitably chosen. In our case, $F(z)=e^{z^2/2}$. This function is smooth over the whole complex plane, so (as explained on the wikipedia page) we may take $\gamma=0$, and the line integral is along the imaginary axis from $-iT$ to $iT$. Define a parameterisation of this path in the natural way i.e. $z:[-T,T]\rightarrow\mathbb{C}$ maps $s$ to $is$. Substituting $z(s)=is$ into the line integral gives $$\int_{-iT}^{iT} e^{tz}F(z)dz=\int_{-T}^{T}e^{ist}e^{-s^2/2}z'(s)ds=i\int_{-T}^{T}e^{ist}e^{-s^2/2}ds$$ Next, write $e^{ist}=\cos(st)+i\sin(st)$. Sine is an odd function so the sine term will evaluate to zero. We are therefore left with $$f(t)=\frac{1}{2\pi i}i\int_{-\infty}^{\infty}\cos(ts)e^{-s^2/2}ds=\frac{2i}{2\pi i}\int_0^\infty \cos(\sqrt2 tx)e^{-x^2}\sqrt2dx$$ where we have used the fact that cosine is an even function, and the substitution $x=s/\sqrt2$. This integral is well known - see this question/answer. Evaluating the integral, we finally get $$f(t)=\frac{2i}{2\pi i}\sqrt2 \frac{\sqrt\pi}{2}e^{-2t^2/4}=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-t^2/2}$$

Answer 2

La de Laplace de la función $l_X (u)$ de una variable aleatoria $X$ (con valores reales) se define por $$l_X (u) = \mathbf{E}[e^{uX}]$$ for each $u\in\mathbf{R}$ for which the expectation makes sense. (You will see soon that it makes sense for any real number $u$.) Suppose $X$ has the law of a normal random variable with variance $1$ and mean $0$. It's density is $\varphi(t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-t^2/2}$ so that $$l_X (u) = \mathbf{E}[e^{uX}] = \int_{-\infty}^{+\infty} e^{ut} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-t^2/2} dt = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{ut} e^{-t^2/2} dt $$ and the integral makes sense as $t\mapsto e^{ut} e^{-t^2/2}$ is integrable for any $u$. Now you can write $$u t - \frac{t^2}{2} = -\frac{1}{2}\left( t^2 - 2ut \right) = -\frac{1}{2}\left( t^2 - 2ut + u^2\right) + \frac{u^2}{2} = -\frac{1}{2} (t-u)^2 + \frac{u^2}{2}$$ and plugging this in the last integral gives $$l_X (u) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\frac{1}{2} (t-u)^2 + \frac{u^2}{2}} dt = e^{\frac{u^2}{2}} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\frac{1}{2} (t-u)^2} dt$$ by taking out the $e^{\frac{u^2}{2}}$ and as any integral over $\mathbf{R}$ is invariant by translation we have $$\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\frac{1}{2} (t-u)^2} dt = \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\frac{1}{2} t^2} dt$$ so that $$l_X (u) = e^{\frac{u^2}{2}} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\frac{1}{2} t^2} dt$$. Finally, the well know equality $\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\frac{1}{2} t^2} dt = 1$ allows to conclude that $$l_X (u) = e^{\frac{u^2}{2}}.$$

Answer 3

El momento de generación de la función de una función de distribución de probabilidad es $$\phi_p(t)=\mathbb E\left[\mathrm e^{t X}\right] =\int\mathrm e^{tx}p(x)\mathrm dx.$$ En otras palabras, si $p$ se define en $\mathbb R$, es el de dos caras de Laplace la transformación de $p$ toma en el punto a $-t$.

Si conoces $\phi_p$ y están en busca de $p$, usted tiene que calcular $$\frac1{2\pi\mathrm i}\lim_{T\to\infty}\int_{\gamma\mathrm es}^{\gamma+\mathrm} \mathrm e^{zx}\phi_p(-z)\mathrm dz\tag1$$ esto se justifica por la siguiente relación $$\frac1{2\pi\mathrm i}\lim_{T\to\infty}\int_{\gamma\mathrm es}^{\gamma+\mathrm} \mathrm e^{zx}\phi_p(-z)\mathrm dz= \frac1{2\pi\mathrm i}\lim_{T\to\infty}\int_{\gamma\mathrm es}^{\gamma+\mathrm} \mathrm e^{zx}\int\mathrm e^{zy}p(-y)\mathrm dy\mathrm dz$$ que se da después de la integración de más de $z$ (por un estándar de relación para las transformadas de Fourier) $$\int\delta(x-y)p(y)\mathrm dy=p(x).$$ Lo que ocurre es que (1) es precisamente la inversa de la transformada de Laplace de $\phi_p$. Espero que esto responda a su pregunta.