Aplicaciones de la Integral Exponencial?

Question

esta es mi primera vez haciendo una pregunta por aquí, así que por favor, perdóname si he hecho algún formato de errores.

Tengo la integral de la $f(x) = \int_0^\infty \frac{e^{-t}}{x + t} \; dt$ y me han demostrado la relación entre el $f(x)$ y la integral exponencial, $E_i(x) = \int_x^\infty \frac{e^{-t}}{t} \; dt$.

Mi tarea me obliga a encontrar una aplicación de la integral, $f(x)$, pero desde que me han demostrado la relación entre el $f(x)$ $E_i(x)$ sólo estoy obligado a encontrar una aplicación de la integral exponencial. He tratado de buscar en el tiempo-dependiente de la transferencia de calor y la ingeniería de yacimientos, sin embargo, me estoy encontrando estas dos aplicaciones bastante difícil de seguir, ya no puedo explícitamente ver una versión de esta integral en línea.

Alguien podría posiblemente me ayude con una aplicación y cómo la integral se utiliza en la aplicación? Si no, algunas sugerencias de sitios web o libros serán más útiles.

Para agregar contexto a la pregunta, yo he utilizado una aproximación asintótica y en comparación con la aproximación a la integral a través de una representación gráfica. Además, también he investigado el error entre la aproximación y la integral.

Gracias de antemano. :)

Answer 1

Un teorema fundamental de la teoría de la comunicación es el Teorema de Codificación de Canal, el cual establece que la velocidad máxima de comunicación (velocidad de transmisión en bits por unidad de tiempo, si se quiere) para que el error de decodificación puede hacerse arbitrariamente pequeña, está dada por la capacidad de Shannon.

Ahora, para uno de los más simples de los canales, que es el ruido Gaussiano blanco aditivo (AWGN) del canal, el complejo de valores de entrada de canal $X$ se ha acotado el promedio de la potencia de transmisión de $\mathsf{E}[|X|^2] \leq P$, y el complejo de valores de salida de canal $Y$ está dado por $$ Y = X + N $$ donde el ruido aditivo $N$ es complejo de Gauss estándar $\mathcal{N}_\mathbb{C}(0,1)$.

El receptor intenta descodificar el mensaje codificado por el transmisor de la señal de $X$ a partir de la observación de la salida $Y$. La capacidad de $C$ de este canal es administrado por un muy conocida fórmula: $$ C = \log_2(1+P) \quad \text{bits/unidad de tiempo} $$

Ahora, en las comunicaciones inalámbricas, el azar de la atenuación de la canal se modela mediante una variable aleatoria (debido a la multi-camino de propagación y las fluctuaciones aleatorias de constructivo y destructivo de la interferencia multitrayecto). Este fenómeno se conoce como desvanecimiento. Esto es a menudo modelado por ampliar el sistema de ecuaciones a $$ Y = HX + N $$ donde la atenuación coeficiente de $H \sim \mathcal{N}_\mathbb{C}(0,1)$ es estándar complejo de Gauss. En este caso, suponiendo que el receptor sabe $H$, la capacidad está dada por $$ \begin{align} C_\text{fading} &= \mathsf{E}\left[\log_2\left(1+P|H|^2\right)\right] = \int_0^\infty \log_2(1+P\xi) e^{-\xi} \mathrm{d}\xi \\ &= \frac{1}{\ln(2)}e^{\frac{1}{P}}E_1\left(\frac{1}{P}\right) \end{align} $$ donde $E_1(x) = \int_x^\infty \frac{e^{-t}}{t}\mathrm{d}t$. Tenga en cuenta que por la desigualdad de Jensen, $C \geq C_\text{fading}$. Así que se puede decir que la decoloración, en un cierto sentido, puede ser un obstáculo para la comunicación.

He omitido muchos detalles, pero espero que la idea aproximada.