Clase de traza, operadores de Hilbert Schmidt, $L^p(H)$ Teoremas de dualidad

Question

Dejemos que $H$ sea un espacio de Hilbert, separable si es necesario, y sea $tr$ sea la traza habitual en $L^1(H)$ . Es la teoría clásica que $K(H)^*=L^1(H)$ y $L^1(H)^*=B(H)$ a través de la aplicación canónica $\langle T,S\rangle=tr(TS)$ para que sea adecuado $T$ y $S$ .

A menudo se menciona que estos resultados de dualidad son análogos a los conocidos $c_0^*=\ell_1$ y $\ell_1^*=\ell_\infty$ . Creo que más o menos entiendo cómo funciona esta analogía: La norma del operador en $B(H)$ es la norma uniforme cuando restringimos los mapas a la bola unitaria, por lo que $B(H)$ consiste en los mapas con "norma uniforme" finita, $K(H)$ consiste en los elementos que pueden ser aproximados por otros de rango finito, y estos son claros análogos de $\ell_\infty$ y $c_0$ respectivamente. Veo más o menos la analogía entre $L^1(H)$ y $\ell_1$ : identifique el $i$ -elemento de una base fija para $H$ con el $i$ -función de coordenadas en $\ell^1$ pero no veo, precisamente, cómo $\langle T\xi_i,\xi_i\rangle$ se relaciona con $x_i$ , para $T\in L^1(H)$ y $x=(x_i)\in\ell_1$ .

Mi pregunta es cuál es la relación precisa entre estos dos resultados de dualidad. Más concretamente,

Pregunta 1 : ¿Podemos obtener los resultados de la dualidad $c_0^*=\ell_1$ y $\ell_1^*=\ell_\infty$ de $K(H)^*=L^1(H)$ y $L^1(H)^*=B(H)$ ? ¿Y si consideramos un espacio de medida/probabilidad $(X,\mu)$ en lugar de $\mathbb{N}$ con medida de recuento (aunque $c_0$ no tiene ningún análogo en este caso).

De forma más general, podríamos definir $L^p(H)$ que consistirá en aquellos $T\in B(H)$ para el que la "norma" $\Vert T\Vert_p=(\Vert |T|^p\Vert_1)^{1/p}$ es finito. No estoy seguro de que esto sea realmente una norma completa, pero si lo suponemos, es natural preguntar:

Pregunta 2 : Dejemos que $p$ y $q$ sean conjugados (finitos) de Hölder. Son $L^p(H)$ y $L^q(H)$ duales entre sí (con la aplicación habitual $\langle T,S\rangle=tr(TS)$ ), y ¿se generaliza la dualidad de $\ell^p$ y $\ell^q$ ? Además, ¿es el mapa $p\mapsto\Vert T\Vert_p$ continua en algún sentido y hace $\Vert T\Vert_p$ converge a $\Vert T\Vert$ como $p\to \infty$ para $T\in \cap_p L^p(H)$ ?

Me interesan estas cuestiones para entender mejor cómo las álgebras traciales de von Neumann/ $II_1$ factores están relacionados con los espacios de probabilidad, y la importancia de la norma de Hilbert-Schmidt en dichas álgebras.

Answer 1

La mayor parte de tu pregunta se responde con el Teorema 3.2 de la obra de Simon Ideales de trazado y sus aplicaciones . No es una lectura fácil debido a la incómoda notación, pero merece la pena.

Sí, $L^q(H)$ es el dual de $L^p(H)$ , básicamente porque Hölder se mantiene, $|\text{Tr}(TS)|\leq\|T\|_p\|S\|_q$ . No puedo decir que las dualidades en los espacios secuenciales se deriven de las dualidades en $B(H)$ Pero encontrará interesante (la primera mitad) del capítulo 2 del libro de Simon, donde se desarrollan los resultados de Lidskii. No tengo ni idea de pasar de $\mathbb N$ a $X$ .

La convergencia del $p$ -se deduce de forma bastante obvia de $\|T\|=\mu_1(T)$ y $$ \|T\|_p=\left(\sum_{k=1}^\infty\mu_k(T)^p\right)^{1/p} $$ (donde $\mu_k(T)$ son los valores singulares de $T$ ) con la misma demostración que en el caso de la medida discreta.