¿Es la simetría quiral local cualitativamente la misma que las simetrías de calibre?

Question

Estoy confundido por el papel que desempeña la simetría quiral local en la teoría de la perturbación quiral. Para el caso de la QCD quiral con tres sabores de quarks, el Lagrangiano es invariante bajo transformaciones de global $SU(3)_L\times{}SU(3)_R$ en $U$

$$U\to{}g_RUg_L^{\dagger}\qquad{}g_L\in{}SU(3)_L;g_R\in{}SU(3)_R$$

donde $U$ es la matriz utilizada para parametrizar los piones, kaones y el $\eta$ (ver página 6 de este artículo)

$$U=e^{i\sqrt{2}\Phi/f}$$ $$\Phi= \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}}\pi^0+\frac{1}{\sqrt{6}}\eta&\pi^+&K^+\\ \pi^-&-\frac{1}{\sqrt{2}}\pi^0+\frac{1}{\sqrt{6}}\eta&K^0\\ K^-&\bar{K}^0&-\frac{2}{\sqrt{6}}\eta \end{pmatrix}$$ donde $f$ es solo una constante con dimensiones de masa.

ahora, podemos tener en cuenta las interacciones débiles y electromagnéticas de los piones, kaones y etas al hacer la simetría quiral global local. Así como en las teorías de calibre ahora se deben usar derivadas covariantes en lugar de derivadas parciales (página 8)

$D_{\mu}=\partial_{\mu}U-ir_{\mu}U+il_{\mu}U$

donde dentro de $r_{\mu}$ y $l_{\mu}$ tenemos el campo fotón, los bosones $W$...(página 7)

$$r_{\mu}=eQA_{\mu}+\ldots$$ $$l_{\mu}=eA_{\mu}+\frac{e}{\sqrt{2}\sin\theta_W}(W_{\mu}^{\dagger}T_++h.c.)+\ldots$$

donde $Q$ es la matriz de masas de los quarks

$$Q=\frac{1}{3}diag(2,-1,-1)$$

y $T_+$ es una matriz que contiene los relevantes factores de Cabibbo-Kobayashi-Maskawa $$T_+= \begin{pmatrix} 0&V_{ud}&V_{us}\\ 0&0&0\\ 0&0&0 \end{pmatrix}$$

Esto se ve algo familiar a lo que se hace en teorías de calibre pero hay cosas que me desconciertan. En teorías de calibre tenemos tantos bosones de calibre como dimensiones tenga el álgebra de Lie del grupo de calibre. ¡Para el caso de $SU(3)_L\times{}SU(3)_R$ deberíamos tener 8+8=16 tales bosones de calibre! ¿Dónde están? Además, si consideramos la teoría de la perturbación quiral para dos quarks y no tres, el grupo de calibre sería $SU(2)_L\times{}SU(2)_R$. Sin embargo, podemos tener en cuenta igualmente muchas interacciones como lo hicimos para el caso de tres quarks, ¡aunque el álgebra ahora tenga solo 3+3=6 dimensiones!

Todo esto me lleva a pensar que la simetría quiral local no es una simetría de calibre, pero me gustaría que alguien hiciera esta afirmación más precisa. Quiero que alguien aclare el papel de las simetrías locales en la teoría de la perturbación quiral y por qué no son como las simetrías de calibre.

Answer 1

Tienes algunas preguntas diferentes aquí, así que intentemos abordarlas una por una.

1. ¿Cuando hacemos la simetría quiral local, hemos introducido una simetría de calibre, o algún análogo de una simetría de calibre?

Cuando haces la simetría quiral local introduces una simetría de calibre. Los términos "simetría de calibre" y "simetría local" son dos formas diferentes de decir lo mismo.

Sin embargo, es un poco complicado, como veremos. La simetría de calibre se introduce acoplando a campos externos $r_\mu$ y $\ell_\mu$ (en tu referencia por Pich, ver el texto antes y después de la ecuación 3.10). Esto significa que no pensamos en $r_\mu$ y $\ell_\mu$ como campos dinámicos, no los cuantificamos y no hay partículas asociadas con estos campos. Introducimos estos campos externos, clásicos, y la simetría local asociada, como un truco matemático para hacer ciertos cálculos más fáciles.

Como beneficio secundario, al cuantificar algunos de los componentes de $r_\mu$ y $\ell_\mu podemos incluir acoplamientos a bosones electrodébiles.

2. ¿Dónde están los bosones de calibre asociados con $r_\mu$ y $\ell_\mu

Como $r_\mu$ y $\ell_\mu$ son campos externos y clásicos, no los cuantificamos y no hay partículas asociadas con estos campos.

Por lo tanto, la teoría de perturbación quiral no predice la existencia de más bosones de calibre más allá de los $W, Z$, fotón y gluones.

3. ¿Cuál es el punto de introducir estos campos externos y clásicos?

Pich después de la ecuación 3.10 da varias razones por las que introducimos estos campos, las cuales intentaré elaborar un poco aquí.

Primero, los campos externos nos permiten calcular funciones de Green asociadas con ciertas corrientes. En otras palabras, simplificará el cálculo de funciones de correlación como

\begin{equation} \langle 0 | J^\mu | 0 \rangle, \langle 0 | J^\mu | \pi \rangle \end{equation}

En segundo lugar, podemos incorporar los acoplamientos de los bosones de calibre electrodébiles en estos campos externos.

Aunque el segundo beneficio puede tener más sentido inmediato, en realidad es beneficioso olvidarse de esto al principio y enfocarse en el primer beneficio, y luego al final ver cómo puedes incorporar los bosones de calibre.

El hecho básico subyacente al primer beneficio (calcular las funciones de correlación de las corrientes quirales) es que los campos de calibre se acoplan a corrientes conservadas. En otras palabras, si ignoramos los términos cinéticos de los campos de calibre (que no son realmente relevantes si pensamos en estos campos de calibre como campos externos clásicos) entonces los campos de calibre se acoplarán a los campos de materia en la forma \begin{equation} \mathcal{L}_{gauge} = r_\mu J_r^\mu + \ell_\mu J_\ell^\mu \end{equation} donde por argumentos estándar, la invariancia de calibre nos dice que $J_r^\mu$ y $J_\ell^\mu$ deben ser corrientes conservadas. De hecho, estas corresponden a las corrientes quirales.

Entonces la idea es considerar la funcional generadora $Z$ como una función de los campos de calibre externos $r$ y $\ell$ así como algunos campos escalares externos adicionales $s,p$ que son útiles para describir las masas. Para los propósitos de esta respuesta ignoraremos $s,p$, por lo que la funcional generadora es una función \begin{equation} Z[r,\ell] = \int DU \exp\left(i \int d^4 x (D_\mu U)^\dagger D^\mu U + \cdots \right) \end{equation} donde $D_\mu$ es la derivada covariante de calibre incluyendo $r,\ell$, $U$ es el campo de matriz que lleva los bosones de Goldstone, y los $\cdots$ se refieren a términos que son de orden superior en derivadas (así como términos de masa que estamos ignorando en esta respuesta).

Observa que no estamos integrando sobre $r$ y $\ell, esto es lo que los convierte en campos externos. (Volveré a explicar cómo incorporar los bosones de calibre electrodébiles al final, pero incluirlos no afectará este paso).

Luego, para calcular el valor en el vacío de la corriente simplemente sigues las reglas normales de la funcional generadora \begin{equation} (-i)\frac{\delta Z}{\delta r_\mu} = \langle 0 | J_r^\mu | 0 \rangle

Estrictamente hablando, esta función de correlación depende de los valores de los campos externos. Después de derivar con respecto a $r_\mu$ y $\ell_\mu, entonces estableces los campos en sus valores apropiados. Discutiré esto con más detalle más adelante, pero las vevs están dadas (perturbativamente) en Pich 3.11, y simplemente destacaré que este es el punto donde introducimos información sobre los bosones de calibre electrodébiles.

Antes de discutir más sobre los bosones de calibre electrodébiles, simplemente señalaré que también podemos usar los campos de calibre para descubrir los operadores de corriente apropiados en la teoría efectiva de campos. Esto es lo que hace Pich en la ecuación 3.20. Simplemente definimos \begin{equation} J_r^\mu = \frac{\delta S_{eff}}{\delta r_\mu}

y de manera similar para $J_\ell^\mu. Estas corrientes pueden ser calculadas orden por orden en la teoría de perturbación siempre que hayamos escrito la lagrangiana más general invariante bajo calibre. Además, establecemos los campos de calibre a sus valores después de tomar la derivada.

Después de hacer este procedimiento y descubrir el operador de corriente, podemos calcular los valores esperados como en Pich 3.21.

En otras palabras, en lugar de aplicar el teorema de Noether en una acción no lineal complicada para descubrir las corrientes, escribimos una acción invariante bajo calibre con campos de calibre externos y usamos la variación del campo de calibre para descubrir la corriente.

Bueno, ahora limpiemos las cosas y discutamos un poco más detalladamente los bosones de calibre electrodébiles. Anteriormente, nuestra función de partición solo integraba sobre $U$. Pero la función de partición completa también integraría sobre los bosones de calibre. Escribamos esto de manera sugerente

\begin{equation> Z_{full} = \int DW^{\pm}_\mu DZ_\mu DA_\mu DU e^{i S} = \int DW^{\pm}_\mu DZ_\mu DA_\mu Z_{eff}[\bar{r},\bar{\ell}]

donde \begin{equation> Z_{eff}[r,\ell] = \int DU \exp\left(i \int d^4 x (D_\mu U)^\dagger (D_\mu U) + \cdots \right)

y donde, siguiendo a Pich 3.11, \begin{eqnarray> \bar{r}_\mu &=& e Q A_\mu + \cdots
\bar{\ell}_\mu &=& e Q A_\mu + \frac{e}{\sqrt{2} \sin \theta_W} (W_\mu^\dagger T^+ + h.c.) + \cdots> Las ecuaciones anteriores constituyen un procedimiento. Primero calculamos $Z_{eff}[r,\ell] para campos externos arbitrarios $r,\ell$. Luego, después de hacer esto, establecemos los campos externos en> "valores característicos $ \bar{r} y $\bar{\ell}$ que incorporan los bosones de calibre electrodébiles y desechamos las partes no físicas de $r y $\ell$. Luego hacemos la integral sobre> los bosones de calibre. El cálculo completo habrá cuantificado los bosones de Goldstone y los bosones de calibre electrodébiles (y no los componentes no físicos de $r y $\ell$ que introdujimos> realmente solo para calcular la corriente).

No hay duda de que este es un conjunto bastante complicado de procedimientos. Hay muchos trucos muy poco obvios que ocurren detrás de escena. La moraleja de la historia, al final, es que estamos> introduciendo una simetría de calibre ficticia que simplifica varios cálculos. Para resumir, primero simplifica el cálculo de las corrientes quirales, y segundo podemos incorporar los bosones de calibre físicos en la simetría de calibre ficticia ampliada que introdujimos.