Tenemos un cubo con la longitud de la arista $L$, ahora girar alrededor de su gran diagonal (una vuelta completa, es decir, el ángulo es de 360 grados), el objeto que vamos a obtener?
Sorprendentemente, la respuesta es D. Y aquí es una demostración:
Ahora estoy obligado a calcular el volumen de este monstruo. Es mucho más allá de mi capacidad. No sé cómo describir analíticamente la curva entre los dos conos (aunque creo que es una hipérbola). Y todavía no estoy seguro de por qué debe ser una curva en lugar de un segmento o algo. ¿Podría usted ayudarme? Gracias de antemano.
Respuestas
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Si colocamos el cubo con su diagonal principal de a $(0,0,0)$ $(1,1,1)$y tres bordes a lo largo de los ejes, entonces podemos parametrizar dos bordes y una diagonal: $$ \begin{align} edge_1&:s\mapsto\begin{pmatrix}s\\0\\0\end{pmatrix},\quad s\in[0,1]\\ edge_2&:s\mapsto\begin{pmatrix}1\\0\\s\end{pmatrix},\quad s\in[0,1]\\ diag&:x\mapsto\frac{1}{\sqrt 3}\begin{pmatrix}x\\x\\x\end{pmatrix},\quad x\in[0,\sqrt 3] \end{align} $$ Para un determinado $s\in[0,1]$ uno puede minimizar la expresión cuadrática (sólo escoger el vértice) $$ |diag(x)-edge_1(s)|^2 $$ con respecto a $x$ encontrar ese $s=\sqrt 3 x$ y con esto la distancia $f(x)$ entre el punto de $diag(x)$ en la diagonal, y el punto de $edge_1(s)$ $edge_1$ es $$ f(x)=\sqrt 2 x $$ Del mismo modo, uno puede deducir que para $$ |diag(x)-edge_2(s)|^2 $$ para ser minimizado wrt. $x$ fijos $s\in[0,1]$ debemos tener $s=\sqrt 3 x-1$, por lo que la distancia $g(x)$ entre la diagonal y $edge_2$ es $$ g(x)=\sqrt{2(x^2-\sqrt 3x+1)} $$ Por simetría, podemos concluir que la curva que nos son de rotación es $$ h(x)= \begin{cases} \sqrt 2 x&\text{ for }x\leq\tfrac13\sqrt 3\\ -\sqrt 2(x-\sqrt 3)&\text{ for }x\geq \tfrac23\sqrt 3\\ \sqrt{2(x^2-\sqrt 3x+1)}&\text{ in between} \end{casos} $$ definido en el dominio $x\in[0,\sqrt 3]$, lo que se ilustra aquí:
Nota: la Fijación de $s$ y la variación de $x$ correcciones sobre un punto de la orilla y varía de un punto en la diagonal hasta el punto más cercano se encuentra. Hacerlo de la otra manera resultaría en un mal de la construcción de la fijación de un punto de la diagonal, y encontrar el punto más cercano en el borde dado que minimiza la distancia ortogonal de un borde en lugar de ortogonal a la diagonal/eje de rotación.
Para demostrar cómo se adapta, aquí es una superposición en un dinámico modelo 3D de la misma:
La curva roja es la función de $h(x)$ derivados por encima de la correspondiente a la "unión" caso de los sólidos formados por las incontables unión de todas las posiciones de una rotación completa de el cubo. Las líneas de color púrpura describir la "intersección" de caso, las incontables intersección de todas las posiciones en una rotación completa del cubo.
palehorse
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8268
Vamos a tomar la unidad centrada en el cubo, con vértices en a $\pm 1$. Para girar de modo que su diagonal principal se presenta alineado con el $x$ eje (eje vertical en la figura) se puede utilizar de dos rotaciones a lo largo de dos ejes, el primero de 45 grados, el segundo por $\tan^{-1}(\sqrt{1/2})=\sin^{-1}(\sqrt{1/3})$. Llegamos entonces la matriz de rotación:
$$ Q= \begin{pmatrix} \sqrt{\frac{1}{3}} & 0 & \sqrt{\frac{2}{3}} \\ 0 & 1 & 0 \\ -\sqrt{\frac{2}{3}} & 0 & \sqrt{\frac{1}{3}} \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \sqrt{\frac{1}{2}} & -\sqrt{\frac{1}{2}} \\ 0 & \sqrt{\frac{1}{2}} & \sqrt{\frac{1}{2}} \\ \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \sqrt{\frac{1}{3}} & \sqrt{\frac{1}{3}} & \sqrt{\frac{1}{3}} \\ 0 & \sqrt{\frac{1}{2}} & -\sqrt{\frac{1}{2}} \\ -2\sqrt{\frac{1}{6}} & \sqrt{\frac{1}{6}} & \sqrt{\frac{1}{6}} \\ \end{pmatrix}$$
De hecho, podemos comprobar que la matriz es ortogonal y $Q \, (1, 1,1)'=(\sqrt{3} ,0, 0)'$
Vamos a considerar primero la parte superior. Que corresponde a los puntos que se extendió por los bordes de partida en el vértice superior, de ahí que correspondan a la revolución de:
$$ \begin{pmatrix} x \\y \\ z \end{pmatrix} = Q \begin{pmatrix} 1 \\\alpha \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{3}}(\alpha+2) \\ \frac{1}{\sqrt{2}}(\alpha-1)\\ \frac{1}{\sqrt{6}}(\alpha-1) \end{pmatrix} $$
A continuación,$\alpha=\sqrt{3} x-2$, en el rango de $\alpha \in[-1,1]$ o $x\in[1/\sqrt{3},\sqrt{3}]$.
Las rotaciones a lo largo de la $x$ eje mantendrá $r^2=y^2+z^2$ constante, y así
$$ r^2= \frac{2}{3}(\alpha-1)^2=\frac{2}{3}(3-\sqrt{3}x)^2$$
O $$r = \sqrt{6}\left(1-\frac{x}{\sqrt{3}}\right)$$
Para la siguiente parte, consideramos que otro borde, a partir de un vecino vértice, a decir de $(1,1,-1)'$:
$$ \begin{pmatrix} x \\y \\ z \end{pmatrix} = Q \begin{pmatrix} 1 \\\alpha \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{3}}\alpha \\ \frac{1}{\sqrt{2}}(\alpha+1)\\ \frac{1}{\sqrt{6}}(\alpha-3) \end{pmatrix} $$ con $\alpha=\sqrt{3} x$, en el rango de $\alpha \in[-1,1]$ o $x\in[-1/\sqrt{3},1/\sqrt{3}]$.
Y aquí el radio es
$$ r^2= y^2+z^2=\frac{2}{3}\alpha^2+2=2x^2+2$$
Entonces el radio es
$$ r(x)=\begin{cases}
\sqrt{6}\left(1-\frac{x}{\sqrt{3}}\right) & \mbox{if } 1/\sqrt{3} \le x \le \sqrt{3}\\
\sqrt{2x^2+2} & \mbox{if } 0 \le x \le \sqrt{1/3}
\end{casos}$$
(Esto parece estar de acuerdo con la Cadena de respuesta.)
Así que, sí el medio de la sección trasversal es una hipérbola.
Para calcular el volumen total que necesita para integrar : $V = 2 \int_0^\sqrt{3} \pi r(x)^2 dx $ y la escala del resultado de multiplicar por $(L/2)^3$ (debido a que nuestro cubo tiene longitud de la arista $2$, en lugar de $L$)
Starkers
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523
Sugerencia:
Esta rotación de la superficie se llama Katenoid.
Es parametrización está dada por
$$x(u,v)=(a \cos (u) \cosh (v),a \sin (u) \cosh (v),a v)$$
Para calcular el volumen, utilice la función:
$$f(x)=a \cosh \left(\frac{x-A}{a}\right)+B$$.
Girar alrededor del Eje x.
A continuación, una de las fórmulas para el volumen es dada por:
$$V=\pi \int _a^b\ f(x)^2{dx}$$
Por favor, mira mi comentario de nuevo. Aquí está otro de rotación de la superficie de rotación-hyperboloid.
$$x(\text{s},\text{v})\text{=}(\cos (s)-v \sin (s),v \cos (s)+\sin (s),v)$$
Este puede ser generado por una escalera de líneas:
No sé, que de la superficie a utilizar.
Narasimham
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Las porciones centrales son hyperboloids de 1 hoja coronado por dos conos en los extremos. ( no catenoids). El hyperboloid de una hoja es una superficie reglada formada por la rotación de un sesgo de la línea sobre el eje de rotación de la simetría.(Ejemplos son las torres de refrigeración, engranajes hipoides, etc).
Ecuaciones
Hyperboloid de una sola hoja de $ \dfrac{(x^2 + y^2)}{a^2} -\dfrac{z^2}{c^2}=1 $ con un signo negativo,
Hyperboloid de dos hojas separadas,$ \dfrac{-(x^2 + y^2)}{a^2} +\dfrac{z^2}{c^2}=1 $ con dos signos negativos.
Cálculo del volumen se realiza de forma habitual de integración con los meridianos de la curva de ecuación dada anteriormente.
