Prueba: $X\ge 0, r>0\Rightarrow E(X^r)=r\int_0^{\infty}x^{r-1}P(X>x)dx$

Question

Como dice el título, el problema en cuestión es probar el siguiente:

$X\ge 0, r>0\Rightarrow E(X^r)=r\int_0^{\infty}x^{r-1}P(X>x)dx$

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Intento/pensamientos en una solución

Supongo que esta es una aplicación del Teorema de Fubini, pero no que requiere la escritura de $P(X>x)$ como una expectativa? Si es así, ¿cómo se logra?

Pensamientos y ayuda se agradece.

Answer 1

Prueba: Considerar la expectativa de la identidad $$ X^r=r\int_0^{X}x^{i-1}\,\mathrm dx=r\int_0^{+\infty}x^{i-1}\mathbf 1_{X>x}\,\mathrm dx. $$