Derivado de una forma cuadrática wrt un parámetro en la matriz

Question

Quiero calcular la derivada de:

$\frac{\partial y^T C^{-1}(\theta)y}{\partial \theta_{k}}$,

(Tenga en cuenta que C es una matriz de covarianza, que depende de un conjunto de parámetros de $\theta$)

para el que he utilizado la regla de la cadena: $\frac{\partial y^T C^{-1}(\theta)y}{\partial \theta_{k}}= \frac{\partial y^T C^{-1}(\theta)y}{\partial C(\theta) } \frac{\partial C(\theta) }{\partial \theta_{k}}$.

El uso de eq. 61 a partir de la Matriz de libro de cocina (http://www2.imm.dtu.dk/pubdb/views/edoc_download.php/3274/pdf/imm3274.pdf) tengo:

$\frac{\partial y^T C^{-1}(\theta)y}{\partial \theta_{k}}= \left[-C^{-1}(\theta)y y^{T}C^{-1}(\theta) \right]\frac{\partial C(\theta) }{\partial \theta_{k}}$.

Sin embargo, esto resulta en una matriz de tiempos de una matriz ans me debe obtener un escalar, I cant donde mi derivación está mal.

Answer 1

Supongo que la correcta regla de la cadena es $$\frac{\partial y^T C^{-1}(\theta)y}{\partial \theta_k} = \sum_{i, j} \frac{\partial y^T C^{-1}(\theta)y}{\partial C_{i,j}(\theta)} \frac{\partial C_{i,j}(\theta)}{\partial \theta_k} = Tr\Big[\Big(\frac{\partial y^T C^{-1}(\theta)y}{\partial C(\theta)}\Big)^T \Big(\frac{\partial C(\theta)}{\partial \theta_k}\Big) \Big]$$

donde $Tr(A) = \sum_i a_{i,i}, A \in \Re^{n \times n}$ es una función de trazado.