El número de $k$-dimensiones de los subespacios de $\mathbb{F}_{q}^{n}$ está dado por el Quantum Coeficiente Binomial ${n \brack k}_{q}$. Esta cantidad ha algebraico significado, como el estabilizador de un grupo de acción. Para mí, la Órbita-Estabilizador Teorema proporciona una mayor justificación de por qué dividimos por el número de maneras de solucionar un $k$-dimensiones del subespacio.
Vamos a comenzar con algo de la terminología.
Definición 1: El Quantum Factorial ($q$-factorial) es la función:
$$[n!]_{x} = \prod_{i=1}^{n} \left( \sum_{j=0}^{i} x^{j} \right) = \prod_{i=1}^{n} \frac{x^{i}-1}{x-1} $$
Definición 2: El Quantum Coeficiente Binomial ($q$-coeficiente binomial) es la función:
$${n \brack k}_{x} = \frac{[n!]_{x}}{[k!]_{x} \cdot [(n-k)!]_{x}}$$
El Quantum Factorial y Quantum Coeficiente Binomial están estrechamente relacionados con la combinatoria de los limitados espacios vectoriales, cuando se evalúa a $q = p^{n}$ primer $p$.
Reivindicación 1: $\text{GL}_{n}(\mathbb{F}_{q}) = \prod_{i=0}^{n-1} (q^{n}-q^{i})$.
Prueba: voy a dejar esto como un ejercicio. [Sugerencia: Contar el número de maneras de obtener la $n$ vectores linealmente independientes en $\mathbb{F}_{q}^{n}$].
Nota: Observar que:
$$\prod_{i=0}^{n-1} (q^{n}-q^{i}) = \prod_{i=0}^{n-1} q^{i}(q^{n-i}-1) = q^{\binom{n}{2}} \prod_{i=1}^{n} (q^{i}-1) = q^{\binom{n}{2}} [n!]_{q} (q-1)^{n}$$
Reivindicación 2: ${n \brack k}_{q}$ cuenta el número de $k$-dimensiones de los subespacios de $\mathbb{F}_{q}^{n}$, que denotamos $\text{Gr}_{n}(k, \mathbb{F}_{q})$.
Prueba: dejamos $\text{GL}_{n}(\mathbb{F}_{q})$ actuar en $\text{Gr}_{n}(k, \mathbb{F}_{q})$. Primero mostramos esta acción es transitiva. Recordemos que cualquiera de los dos $V, W \in \text{Gr}_{n}(k, \mathbb{F}_{q})$ son isomorfos. Deje $T : V \to W$ ser un isomorfismo. Ampliamos $T$ a un automorphism de $\mathbb{F}_{q}^{n}$ como sigue. Vamos a:
$$M = \begin{pmatrix} [T]_{k \times k} & B_{k \times (n-k)} \\ O & C_{(n-k) \times (n-k)} \end{pmatrix}$$
Donde $[T]$ es la representación de la matriz de $T$, y ampliamos el resto de $n-k$ columnas para completar ordenó una base de $\mathbb{F}_{q}^{n}$. Por lo $\text{GL}_{n}(\mathbb{F}_{q})$ actúa transitivamente sobre $\text{Gr}_{n}(k, \mathbb{F}_{q})$.
Fix $V = \langle e_{1}, \ldots, e_{k} \rangle \in \text{Gr}_{n}(k, \mathbb{F}_{q})$ donde $e_{1}, \ldots, e_{k}$ son los primeros a $k$ estándar vectores de la base. Por la Órbita-Estabilizador de Lema, tenemos que:
$$|\text{GL}_{n}(\mathbb{F}_{q})| = |\text{Stab}(V)| \cdot |\mathcal{O}(V) = \text{Gr}_{n}(k, \mathbb{F}_{q})|$$
Si podemos determinar $|\text{Stab}(V)|$, hemos terminado. Tenga en cuenta que cualquier elemento de a $\text{GL}_{k}(\mathbb{F}_{q})$ corrige $V$. Deje $T \in \text{GL}_{k}(\mathbb{F}_{q})$. Ampliamos $T$ a un elemento de $\text{GL}_{n}(\mathbb{F}_{q})$ en la misma manera como se describió anteriormente. Hay $|\text{GL}_{k}(\mathbb{F}_{q})|$ formas de selección de $T$, e $\prod_{i=k}^{n-1} (q^{n}-q^{i})$ formas de seleccionar el resto de $n-k$ columnas. Por lo tanto:
$$|\text{Stab}(V)| = \left(\prod_{i=0}^{k-1} (q^{k}-q^{i}) \right) \cdot \left( \prod_{i=k}^{n-1} (q^{n}-q^{i} \right)$$
Que es igual a:
$$\left( [k!]_{q} (q-1)^{k} q^{\binom{k}{2}} \right) \cdot \left(q^{\binom{n}{2} - \binom{k}{2}} [(n-k)!]_{q} (q-1)^{n-k} \right)$$
Esto es igual a: $[k!]_{q} (q-1)^{n} [(n-k)!]_{q} q^{\binom{n}{2}}$.
Y así:
$$|\text{Gr}_{n}(k, \mathbb{F}_{q})| = \frac{[n!]_{q} q^{\binom{n}{2}} (q-1)^{n}}{[k!]_{q} (q-1)^{n} [(n-k)!]_{q} q^{\binom{n}{2}}} = {n \brack k}_{q}$$
QED.
Un par de comentarios que no están directamente relacionados con tu pregunta, pero son una buena visión. En primer lugar, como $q \to 1$, de recuperar el estándar factorial y el coeficiente binomial de la $q$-factorial y $q$-coeficiente binomial. Entonces, en un sentido, el grupo de Simetría se comporta como un caso especial del grupo Lineal General, si tenemos un campo de un elemento. En una introducción al álgebra de la clase, el grupo de Simetría que parece ser el "más grande" y el grupo más importante, debido en gran parte a del teorema de Cayley. Sin embargo, estamos viendo que la matriz de los grupos son más general que la permutación de grupos. A la luz de esto, así como el hecho de que el álgebra lineal es muy bien entendido, de la matriz de los grupos son, posiblemente, el "derecho" de los objetos a los grupos de estudio. Esto proporciona una gran cantidad de la motivación para la representación lineal de la teoría.
