la convergencia puntual y la acotación de la norma implican una convergencia débil

Question

Estoy contemplando sobre el siguiente ejercicio (en el que $E=[0,1]$ ):

Dejemos que $f_n$ sea una secuencia de funciones en $L^p(E)$ , $1<p<\infty$ que convergen en casi todas partes a una función $f$ en $L^p(E)$ y supongamos que existe una constante $M$ tal que $\|f_n\|_p\le M$ para todos $n$ . Entonces, para cada función $g$ en $L^q(E)$ (con $\frac1p+\frac1q=1$ ), tenemos $$\int_E fg=\lim_{n\to\infty}\int f_n g.$$

Si la medida de $E$ es finito, se puede hacer uso del teorema de Egoroff y encontrar un conjunto $A$ de medida suficientemente pequeña como para que $f_n$ converge uniformemente a $f$ en $E\setminus A$ y $\int_A|g|^q<\epsilon'^q$ . Por lo tanto, la diferencia $$ \left|\int_E fg - \int_E f_ng\right|\le\int_E |(f-f_n)g|=\int_A |(f-f_n)g|+\int_{E\setminus A}|(f-f_n)g| $$ $$ \le\text{[by Holder]}\le 2M\epsilon'+\|f-f_n\|_p\cdot\|g\|_q $$ se puede hacer menos que cualquier $\epsilon$ para que sea lo suficientemente grande $n$ .

Mi pregunta es: ¿este resultado también es válido si la medida de $E$ es infinito?

Answer 1

Sólo quiero añadir otro enfoque a este problema.

Para mostrar $\lim \int f_n g = \int fg$ para cada $g\in L^q$ , si $f_n$ están acotados, basta con demostrar $\lim \int f_n \phi = \int f\phi$ para $\phi$ en un subconjunto denso de $L^q$ , digamos el espacio de las funciones simples en $L^q$ con soporte compacto. Entonces su argumento se aplicaría perfectamente.

Answer 2

Sí: considerar para cada número entero $N$ los conjuntos $S_N:=\{x,|g(x)|>N^{-1}\}$ . Desde $|g|^q$ es integrable, estos conjuntos tienen medida finita, y nos reducimos a mostrar el resultado cuando $E=\bigcup_NS_N$ .

A continuación, utilizamos un $2\varepsilon$ -argumento: fijar $\varepsilon>0$ ; podemos encontrar $N$ tal que $\int_{E\setminus S_N}|g|^q<\varepsilon$ . Entonces hacemos la misma prueba que en el caso $E$ de medida finita.