Pregunta sobre el teorema de Hopf-Rinow

Question

Estoy estudiando el teorema de Hopf-Rinow y no veo ningún paso en la demostración. ¿Podría alguien ayudarme, por favor?

(Definición) Vamos a $(M, \langle,\rangle)$ un axioma de numerabilidad 2 (ANII) y una variedad riemanniana de Hausdorff. Si $M$ está conectado y $p,q \in M$ . Definimos: $$d_L:M\times M \longrightarrow [0,\infty)$$ $$(p,q)\longmapsto inf\{l(C)\}$$ donde C es una curva diferenciable a trozos que une $p$ y $q$ y $l$ es la longitud de la curva.

He demostrado que $d_L$ es una distancia y que la topología inducida por $d_L$ es la topología original en $M$ .

Considerando $(M, \langle,\rangle)$ una variedad riemanniana ANII y Hausdorff. Si $M$ está conectado y $p \in M$ . Entonces demuestre que las siguientes afirmaciones son equivalentes:

(a) Si $A$ es un subconjunto cerrado y acotado de $M$ entonces $A$ es compacto.

(b) $\exists \{K_n\}_{n\in \mathbb{N}}, K_n \subset M$ compacto y $K_n \subset K_{n+1}, \forall n \in \mathbb{N}$ y $\bigcup_n K_n=M$ con la siguiente propiedad: Si $(q_n)_{ n \in \mathbb{N}}\subset M$ secuencia / $(q_n)\notin K_n, \forall n \in \mathbb{N}\Rightarrow lim_{n\rightarrow \infty} d_L(q_n,p)=\infty$ .

Gracias.

Answer 1

$(\Rightarrow)$ Supongamos que (a) es cierto. Fijar un punto $o\in M$ y que $K_n$ sea la bola unitaria cerrada de radio $n$ . Es decir

$$K_n = \{ x\in M: d(x, o)\leq n\}\ .$$

Entonces cada $K_n$ es cerrado y acotado, por lo que todos son compactos por (a). Sea $y\in M$ . Entonces $d(o, y) \leq n$ para algunos $n$ Así que $y\in K_n$ . Así, $\bigcup_n K_n = M$ .

Dejemos que $p\in M$ . Entonces, como $q_n \notin K_n$ , $d(o, q_n)> n$ . Por la desigualdad del triángulo,

$$n< d(o , q_n) \leq d(p, o) + d(p, q_n) \Rightarrow d(p, q_n) > n-d(o, p) \to \infty\ ,$$

por lo que $\lim_n d(p, q_n) = \infty$ .

$(\Leftarrow)$ Supongamos que $(b)$ es verdadera y $A$ es cerrado y acotado. Como $A$ está acotado, hay $p\in M$ y $C>0$ tal que $d(x, p \leq C$ para todos $x\in A$ . Primero mostramos que hay $N\in \mathbb N$ tal que

$$A \subset K_N\ .$$

Supongamos lo contrario, que tal $N$ no existe. Entonces, para todos los $n\in\mathbb N$ , hay $q_n\in A$ tal que $q_n \notin K_n$ . Por (b), tenemos $d(p, q_n) \to \infty$ . Pero eso contradice el hecho de que $A$ está acotado.

Así, $A\subset K_N$ para algunos $N$ . Como $K_N$ es compacto y $A$ está cerrado, $A$ también es compacto.

Así, hemos demostrado que (a) y (b) son equivalentes. Nótese que no tiene nada que ver con el colector. Es cierto para cualquier espacio métrico.