Cómo solucionar $dy/dx = \frac{(3y^2+2x^2)}{ (xy)}$

Question

Tengo este problema, hoy en día examen y yo no podía darme cuenta de esto. La ecuación es $xy \, dy = (3y^2+2x^2) \, dx$, $M_y = 6y$ y $N_x = y$, no son iguales, por lo que esta ecuación no es en absoluto exacto, no se ve como que puedo hacer separables? Qué hacer?

Answer 1

General de la sugerencia:

Esta es una ecuación Homogénea de primer orden ya que se puede escribir como $$y'=f\left(\frac{y}{x}\right)$$ Assume $u=\frac{y}{x},~~x\neq 0$ and solve the following OE instead: $$\frac{du}{f(u)-u}=\frac{dx}{x}$$

Aquí puede ver que el si $x\ne 0$, $$y'=\frac{x^2(3u^2+2)}{x^2u}=\frac{(3u^2+2)}{u}=f(u),~~~u=\frac{y}{x}$$

Answer 2

Sugerencia: Multiplicando ambos lados por $2y$ rendimientos: $$2y\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{6y^2+4x^2}{x} = \left(\dfrac{6}{x}\right)y^2 + 4x$$ Ahora vamos a $v=y^2$. A continuación,$\dfrac{dv}{dx}=2y\dfrac{dy}{dx}$. La sustitución de la producción: $$\dfrac{dv}{dx} = \left(\dfrac{6}{x}\right)v + 4x \ffi \dfrac{dv}{dx} - \left(\dfrac{6}{x}\right)v = 4x$$ que es lineal y la educación a distancia que puede ser resuelto mediante el método de la integración de factores.